Зачем признаки параллелограмма вообще нужны? Напомним, параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Вот из этой параллельности, какой конкретно – АВ параллельно СD, АD параллельно BC, вот из этой параллельности вытекает много хороших свойств, которые являются ключами к решению многочисленных задач. Ну например, противоположные углы равны: угол А равен углу С, угол В равен углу D. Значит, противоположные углы равны у параллелограмма. Что еще? Противоположные стороны равны: сторона АВ равна стороне СD, сторона AD равна стороне ВС. Ну еще можно сказать, что диагонали точкой пересечения диагоналей делятся пополам. Сумма прилежащих углов к одной стороне – 180 градусов и т.д., то есть много хороших свойств, если только я буду знать, что этот четырехугольник – параллелограмм. Так вот, для того чтобы мне быть уверенным, что этот четырехугольник – параллелограмм, служат признаки параллелограмма.

 

Первые два признака мы уже рассмотрели. Сейчас третий признак, он звучит так: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм. Итак, нам дано: что в четырехугольнике ABCD АО равняется ОС. Одна диагональ рассеклась точкой пересечения пополам, вот этот отрезочек АО равен вот этому ОС. Вторая диагональ – ВО – равняется OD, то есть тоже точкой пересечения рассеклась пополам. Дано. Теперь требуется доказать, что четырехугольник – параллелограмм. То есть, что выполнены две вот этих параллельности (AB||CD, AD||BC). То есть надо доказать, что одна пара сторон параллельна и вторая пара сторон параллельна. Значит, доказать, что четырехугольник ABCD – параллелограмм, то есть AB||CD, AD||BC.

 

И доказательство. Ну что нам нужно доказать? Параллельность сторон. А значит, нужен признак параллельности прямых. Прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны – вот часто используемый признак. Ну когда вот эти прямые ВС и АD параллельны? Ну тогда, когда вот этот уголочек будет равен вот этому уголку. А почему эти углы равны? А они входят в треугольники: ОВС – вот этот треугольник и этот треугольник – ОDА. Ну, значит, сама подсказка: докажите, что треугольники равны? Отметьте равные углы и тогда в награду получите параллельность вот этих прямых ВС и АD. Ну так почему же треугольники у нас равны? Треугольник ОВС и треугольник ODA. Ну, во-первых, одна сторона равна второй стороне (АО=ОС). Эта пара сторон тоже равна (ВО=ОD). А вот эти углы равны как вертикальные. Значит, по углу и прилежащим сторонам. Ну понятно, какие стороны равны. Ну а теперь собираем урожай из этого равенства треугольников, нужный нам. Против стороны СО лежит угол СВО, это в одном треугольнике. Против равной ей стороны АО лежит угол ADO. А это означает, что накрест лежащие углы равны и соответствующие прямые параллельны, то есть прямая BC||AD. Аналогично заключаем, что угол OAD, лежащий против стороны OD, равен углу ВСО, лежащему против такой же стороны. Значит, из равенства накрест лежащих углов, вытекает параллельность сторон. Из равенства треугольников следует так же, что BC=AD. Итак, мы имеем, что ВС и параллельна AD, и BCравняется AD. Значит, ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать. Этим мы сослались на первый предыдущий признак параллелограмма.

 

Было дано, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам. Нужно было доказать, что четырехугольник – параллелограмм. Идея доказательства была такая: мы рассмотрели треугольники ВОС и DOA. Они явно равны по углу и прилежащим сторонам. Почему? Вертикальные углы равны и прилежащие стороны равны по условию. А отсюда вытекает, что углы CBD и DBA тоже равны, потому что они лежат против равных сторон. Но они являются накрест лежащими для прямых BC и AD. Следовательно, из равенства накрест лежащих углов вытекает параллельность прямых AD и ВС. Но, кроме того, из треугольников следует равенство этих отрезков. Значит, в четырехугольнике пара противоположных сторон и равна, и параллельна. А следовательно, он – параллелограмм, что и требовалось доказать.

 

Задача: диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Давайте сначала нарисуем параллелограмм ABCD. Его диагонали, сказано, пересекаются в точке О. Итак, нам дано, сразу напишем, что ABCD – параллелограмм. Далее сказано, что точка А1 – это середина отрезка АО, точка В1 – это середина отрезка ВО, точка С1 – середина отрезка СО и точка D1 – середина отрезка OD. Точки соединены. Ну вот похоже, что он параллелограмм-то. И требуется доказать, что A1B1C1D1 тоже параллелограмм.

 

Итак, имеем параллелограмм исходный. Значит, все свойства параллелограмма в нашем распоряжении. Нам нужны какие свойства? Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, СО равняется ОА, а значит, и каждая из половинок равна друг другу. Итак, доказательство основано на свойствах исходного параллелограмма. Мы пишем ОА1=ОС1. Почему? Да потому что каждая из них – это ½ ОА. Далее ОВ1 равняется OD1 по той же причине, что в исходном параллелограмме это ½ BO. Значит, в четырехугольнике A1B1C1D1 диагонали, во-первых, пересекаются, а, во-вторых, точкой пересечения делятся пополам. Значит, четырехугольник A1B1C1D1 – параллелограмм, что и требовалось доказать.

 

Ну прокомментируем и третий признак и свойства. Одно из свойств параллелограмма заключается в том, что диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обратно: третий признак утверждает, что если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом. То есть прямая теорема справедлива и обратная теорема справедлива. Так вот, здесь использованы и прямая теорема, и обратная. Нам сказано, что исходный четырехугольник – параллелограмм. Значит, диагонали разделились пополам, и вот эти отрезочки оказались равными друг другу. Значит, в искомом четырехугольнике диагонали оказались точкой пересечения разделенными пополам. Мы заключаем, что этот четырехугольник – параллелограмм. Таким образом, работает вот это свойство параллелограмма.

 

Итак, мы рассмотрели определение параллелограмма, свойства параллелограмма, признаки параллелограмма. На следующем уроке мы будем активно свойствами параллелограмма пользоваться.