Некоторые задачи на параллелограмм. Они довольно многочисленны, но ключами к их решению являются, во-первых, определение параллелограмма, во-вторых, свойства параллелограмма и, в-третьих, признаки параллелограмма. Поэтому наша цель – обобщить эти сведения и решить конкретные новые задачи.

 

Итак, обобщение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если нам где-то в задаче сказано, что четырехугольник – параллелограмм, это означает, что прежде всего AB||CD и AD||BC. Это определение параллелограмма. И из этого определения следовали очень интересные свойства. Значит, определение есть. Какие свойства? Первое: противоположные углы параллелограмма равны. Угол А был равен углу С, и в любом параллелограмме, противоположные углы равны. Это же касается углов В и D, угол B равен углу D. , . Значит, противоположные углы равны. Теперь противоположные стороны равны. Это означает, что AB=CD и AD=BC.

 

Вот первые свойства.

 

Следующие свойства касаются точки пересечения диагоналей. Одна диагональ АС, вторая диагональ BD. Они пересеклись в точке О. АО=ОС, то есть диагональ точкой пересечения рассеклась пополам. Вторая диагональ также рассечется пополам точкой О, BO=OD. Вот было определение, вот это были основные свойства параллелограмма.

 

Ну вот, добавим еще одно свойство. Оно очевидное. Сумма углов в параллелограмме ABCD, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Мы отдельно нарисовали параллелограмм, чтобы показать, что сумма углов А и В есть 180°, 180°. Ну это понятно, потому что параллельные прямые рассечены третьей прямой, односторонние углы равны. Если здесь угол α, то этот тоже угол α, а угол α и β – смежные, в сумме составляют 180°. Значит, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Это касается любой стороны параллелограмма. Ну, например, углы, прилежащие к стороне AD, то есть угол А и угол D тоже в сумме дают 180°,180°.

Вот это определение. Мы сделали обзор основных признаков. И теперь, чтобы этими признаками пользоваться и решать задачи, как мы говорили, надо быть уверенным, что перед нами – параллелограмм. А для этого мы рассмотрели признаки параллелограмма. Повторим их.

 

Если есть четырехугольник и не ясно, параллелограмм он или нет, четырехугольник ABCD, но в нем одна пара сторон и параллельна и равна, то такой четырехугольник – параллелограмм. Это был первый признак параллелограмма. Значит, он записывается следующим образом: если в четырехугольнике AB параллельна CD и отрезки AB и CD равны по длине, то отсюда следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. AB||CD, AB=CD. И мы сможем пользоваться всеми свойствами этого четырехугольника. Таков был первый признак параллелограмма.

 

Второй признак параллелограмма был следующий. Если эта пара сторон равна по длине и вторая пара сторон равна по длине, то четырехугольник – параллелограмм. Итак, если АВ равняется CD и AD равняется ВС, то из этого вытекало, что четырехугольник ABCD – параллелограмм, AB=CD, AD=BC. И мы снова могли пользоваться всеми свойствами параллелограмма в решении задач с этим четырехугольником.

И, наконец, третий признак заключался в следующем. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения рассекались пополам, то такой четырехугольник тоже был параллелограмм. Итак, если АО равнялось ОС и ОВ оказалось равным OD, то есть точка О рассекает одну диагональ на две равные части и вторую диагональ на две равные части, то этого было достаточно для того, чтобы противоположные стороны были параллельны и чтобы четырехугольник ABCD был бы параллелограммом, AO=OC, OB=OD.

 

Итак, мы рассмотрели определения, свойства и сделали обзор признакам параллелограмма. Ну а теперь посмотрим, каким образом решаются задачи, используя определения, признаки и свойства параллелограмма. Ранее мы некоторые задачи решали, сейчас решим дополнительные задачи.

 

Задача: дан параллелограмм ABCD. Проведена биссектриса АК угла А. То есть АК – биссектриса, а ABCD – это параллелограмм. Проведена вторая биссектриса BN. BN – тоже биссектриса второго угла. Значит, этот уголочек равен вот этому. Вот получилась точка Q. Найти угол АQВ. Речь идет вот об этом угле.

 

Решение: примем следующее обозначение. Угол BAD обозначим за α, это вот этот угол, угол АВС обозначим за β, , . Это углы, которые прилежат к одной стороне параллелограмма. Их сумма равна 180° по свойству параллелограмма, α+β=180°. В этих обозначениях биссектриса рассекает угол пополам, значит, одна половинка . Вторая биссектриса рассекает свой угол пополам, стало быть, половинка будет . Значит, отсюда следует, что угол BAQ – это , этот угол мы обозначили. И второй угол ABQ – это угол . , . А значит, их сумма + равна , то есть . Итак, в треугольнике ABQ сумма двух углов равна 90°, значит, на угол AQB приходится тоже 90°, 90°. Что и требовалось доказать: этот угол между биссектрисами AK и BK90°.

 

Задача: прямая MN, проведенная через середину М стороны АВ параллельно стороне ВС треугольника АВС, пересекает третью его сторону в середине. Расшифруем условие задачи. Есть треугольник АВС. Точка М – его середина, то есть дано: МА=МВ. Далее, проведена прямая через точку М параллельно ВС, некоторая прямая MN, MN||BC. Итак, прокомментируем условия задачи. Точка М – середина стороны АВ, через нее проведена прямая параллельно стороне ВС. Эта прямая рассекла сторону АС в некоторой точке N. Так вот надо доказать, что N – это середина АС. То есть AN=NC.

 

Доказательство. Ну, выполним дополнительное построение. Через точку С, проведем прямую СD параллельно АВ. Итак, проводим CD||AB. И рассмотрим четырехугольник MBCD. Четырехугольник MBCD есть параллелограмм. Почему? Да по определению. Потому что MB||DC по построению и MD||BC по условию. Еще раз: какая здесь параллельность и откуда она берется? MB||DC– это по построению, мы так построили. А MD||BC – это по условию, так в условии дано. Значит, в этом четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм. А раз это параллелограмм, то много хороших свойств. В частности, противоположные стороны равны. DC равняется MB и равняется МА, DC=MB=MA. Имеем три равных треугольника (? отрезка 18:56).

 

А теперь рассмотрим треугольники. MAN – это один треугольник. Сторона МА равна стороне DC. Прямые параллельны, значит, накрест лежащие углы равны. Прямые параллельны, рассекаются вот этой третьей прямой, значит, накрест лежащие углы равны. Мы имеем равные треугольники по стороне и двум прилежащим углам. Треугольник MAN равен треугольнику DCN. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников вытекает равенство нужных нам отрезков. А именно: AN=NC. Что и требовалось доказать. Таким образом, прямая MN действительно рассекает сторону АС в ее середине, точке N.

 

Теорема Фалеса. Дан угол с вершиной О. Если на одной стороне угла отложить равные между собою отрезки, вот эта длина а, эта длина а, эта длина а и эта длина а. Ну а точки обозначим А1, А2, А3, А4. Так вот, если на одной стороне угла вот подобным образом отложить равные отрезки и через концы отрезков провести параллельные между собою прямые, то эти прямые отсекут на другой стороне угла равные между собой отрезки. То есть если мы этот отрезок обозначим за b, то этот тоже будет b, этот тоже будет b и этот тоже будет b. Вот смысл теоремы Фалеса. Ну она целиком базируется на предыдущей задаче. Давайте обозначим вот эту точку В1, вот эту точку В2, ну остальные В3и В4. Имеем треугольник ОА2В2. В этом треугольнике точка А1 – середина стороны ОА2. Через точку А1, то есть середину, проведена прямая А1В1 параллельно основанию А2В2. По предыдущей задаче эта прямая рассекает сторону ОВ2 в середине, то есть В1О=В1В2. Таким образом мы доказали равенство вот этих двух отрезков. Аналогичным образом, мы можем доказать равенство соседних отрезков, если провести параллельную прямую.

 

Таким образом, теорема Фалеса еще раз гласит следующее: если с одной стороны угла отложить равные между собою отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на противоположной стороне получатся равные между собою отрезки. И вот один пример на эту задачу.

 

Дан отрезок АВ. Разделить отрезок на три равные части. Решение. Проводим произвольный угол и откладываем удобные нам равные три отрезка – а, а и а. То есть эта точка, скажем, А1, эта точка А2, эта точка А3. Ну, вот отрезок АА3 разделен нами на три равные части. Мы взяли три части равные и получили отрезок. Соединим А3 и В, проведем прямую А3В. И через точки А2 и А1 проведем прямые, параллельные вот этой прямой А3В. То есть, если мы здесь, скажем, точку В2, а здесь точку В1, то проводим А1В1||А2В2||А3В. По теореме Фалеса мы получим равные между собою отрезки. Таким образом, любой отрезок мы можем разделить на равное число отрезков с помощью теоремы Фалеса.

 

Итак, мы сделали обзор основных сведений о параллелограмме. А именно: начиная с определения параллелограмма, рассмотрели свойства параллелограмма, признаки параллелограмма. И показали, каким образом, эти богатства свойств параллелограмма используются при решении конкретных задач. В дальнейших уроках свойства параллелограмма будут использованы.