Геометрия 9 класс

Глава 1. Метод координат

Урок 1. Координаты вектора

Тарасов В.А.,

учитель школы «Логос ЛВ», ст. преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ

Москва

29.06.2010

Метод координат. Координаты вектора. Откуда вообще взялись векторы? Из жизни, потому что в жизни есть такие величины, для которых важно не только величина, но и направление. Примеры таких величин: скорость, сила и т.д. Поэтому определение напомним. Вектором а (или вектором АВ) называется направленный отрезок, у которого известно начало и конец.

Рисунок

Обозначения вектора:  – направленный отрезок. Если есть вектор, то нужно понять, какие векторы равные. Для этого вводится понятие коллинеарных векторов. Это такие векторы, которые лежат либо на одной прямой либо на параллельных прямых.

Рисунок

Вот там был вектор , а здесь у нас вектор . Вектор  и  коллинеарные, их направления параллельны: ॥ . В данном случае векторы противонаправлены. Так, когда векторы равные? Когда, во-первых, они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны. Что означает, что вектор ? Это означает, что их длины равны  и они сонаправлены. Вот вектор , вот вектор . Итак, мы вспомнили, что такое вектор, что такое равные векторы. С векторами пока что без координат мы умели производить некоторые операции, например, мы умели складывать, вычитать векторы, умножать векторы на число, на скаляр. Предположим, у нас вектор есть  и вектор .

Рисунок

Что мы называли суммой векторов? Мы откладывали оба вектора от одной точки, мы рассматриваем свободные векторы, их можно параллельно переносить себе. Вот вектор , вот вектор . На этих векторах можно построить параллелограмм и диагональ параллелограмма является суммой этих векторов. Таково правило параллелограмма. Правило треугольника.

Рисунок.

Откладываем вектор  и от его конца откладываем вектор . Третья сторона треугольника – это вектор , который называется суммой двух векторов . Сложение, вычитание векторов. Теперь умножение вектора на число. Предположим, мы имеем вектор  и сказано «Постройте вектор 2». Мы берем вектор  и увеличиваем его длину в 2 раза. Таким образом, вектор можно растянуть в 2 раза, сжать в 2 раза путем его умножения на некоторое число. Наша цель ввести координаты вектора, то, что мы рассказывали, это все мы делали и можем делать без всяких координат. Давайте рассмотрим все-таки, как ввести координаты вектора.

Рисунок

Предположим, что у нас на прямой есть вектор , то любой другой вектор , который расположен на этой прямой или на прямой параллельной, однозначно выражается через вектор . Связь такая: вектор . k как бы координата, вот вектор , я мог взять за единичный, а другой любой вектор, который расположен на прямой или коллинеарен вектору , он однозначно выражается через вектор  с помощью числа. Число такое существует. Чему равно это число? Это число получается, если .

Если мы теперь на плоскости возьмем два вектора не коллинеарных. Один у нас будет вектор , а другой вектор . Векторы неколлинеарны, значит, в некотором смысле мы владеем с их помощью любым третьим вектором. Что это означает? Вот возьмем вектор .

Рисунок

Вектор  можно разложить однозначно по векторам  и . Мы сейчас сначала смысл соответствующей теоремы расскажем, потом ее сформулируем. Значит, вектор спроектируем на направление вектора  и получим следующие буквы: О, А, здесь А₁, здесь точка Р. Итак, вектор , произвольный вектор . Мы только что рассматривали операцию сложения векторов, правило треугольника – вот оно здесь.  коллинеарен , значит, найдется некоторое число х такое, что =х;  коллинеарен , значит, найдется такое число у, что если  растянуть в у раз, то получим вектор .

=х+у

Выясняется, что вектор  разлагается с помощью чисел х, у по векторам , . Вот эти числа можно назвать координатами вектора  при его разложении по векторам  и . Докажем, что это разложение единственно. Нам это важно. Наша задача – доказать единственность разложения вектора  по неколлинеарным векторам и . Наша задача – доказать единственность разложения. Еще раз сделаем чертеж. Вот у нас вектор , неколлинеарный ему вектор  и вектор . Любой третий вектор , как мы выяснили, однозначно, это нам нужно доказать, что однозначно, но выяснили, что он разлагается по векторам  и  следующим образом: =х+у.

Существует пара чисел х, у такая, что имеет место такое равенство, что вектор  разлагается по векторам  и .  Докажем, что эта пара единственная. Потому что потом мы ее назовем координатами, для нас это важно. Предположим противное, что существует другая пара чисел =х¢+у¢, что выполняется такое равенство, т.е. по иному вектор  разлагается через те же неколлинеарные векторы. Вычтем два равенства.

Утверждается, что скобки равны 0, х=х¢; у=у¢. Доказывается методом от противного.

Пусть х ¹ х¢, тогда (х-х¢)=-(у-у¢). Если скобка ¹0, то обе части можно на нее поделить, и получаем =-, ॥. Один из них получается из другого умножением на некоторое число. Векторы коллинеарны – противоречие. Значит, координаты не могут быть равны и разложение единственно. Итак, еще раз повторим теорему. Любой вектор  однозначно разлагается по неколлинеарным векторам  и .

Разложение единственно – это означает, существует единственная пара чисел х и у. Вот их мы и назовем координатами. Теперь векторы  и  выберем специальным образом, выберем следующим образом.

Рисунок

Введем прямоугольную систему координат: х, у. Введем координатный вектор , единичный, который будет расположен на оси х следующим образом. Вектор  на оси у расположен следующим образом. Эти векторы неколлинеарные. Они перпендикулярные. Значит, любой третий вектор  однозначно разлагается по этим неколлинеарным векторам. Разложение такое: =. Только что мы доказали, что такие числа х, у существуют. Так вот числа х, у – это координаты вектора . Запись такая: =. Вот что означает координаты вектора . Возможна иная форма записи: ={x; y}. Две координаты однозначно задают вектор . Эти координаты, их смысл связан с проекциями вектора на одну ось и на другую ось.

В связи с этим два типа задач. Заданы координаты вектора – построить сам вектор.

Дан вектор – найти его координаты. Рассмотрим некоторые из этих задач.

1) Дано: {2; 0}        Ответ: .

{-3; -1}                    Ответ: .

{2; 4}                       Ответ: .

Задача – построить эти векторы.

Решение: рисуем оси координат х, у, единичный вектор , единичный вектор . Как нам построить вектор {2; 0}? Это значит, откладываем две единицы по оси х и 0 единиц по оси у, получаем ОА. Итак, ответ в первом случае – это вектор . Построили, построить вектор . Даны координаты, мы их ввели. Это означает: -3, вот точка -3, -1, вот точка с координатами (-3; -1). Вот наш вектор . Значит, ответом здесь является  вектор . И, наконец, третий вектор – вектор {2; 4}. 2 по оси х, 4, получили точку С (2; 4) и соответствующий вектор . Значит, ответ здесь: построили вектор . Комментарий: мы чувствуем связь между координатами точки и координатами вектора и потом подчеркиваем, что они равны. Итак, мы решили первую задачу, т.е. даны координаты – постройте вектор, построили.

Вторая задача обратная – выпишите координаты векторов. Дано:  Координаты векторов – это числа перед  и , вот они координаты ={2; -3}. Еще один пример: . Какие координаты у этого вектора? Вот они координаты: .

Следующая группа задач: найдите числа х и у из равенства векторов. Дано: =7-2. Ответ: .

х – неизвестное число, плюс у – неизвестное число. Это координаты вектора, и известно, что это равно 7-2. Один и тот же вектор раскладывается по неколлинеарным векторам. Мы доказывали теорему, что такое разложение единственно, значит, .

Еще подобная задача.

-4+у=х+8.

Как получить ответ? Векторы равны, значит, разложение одинаково.

Ответ: .

И последний пример: ==0+0. Ответ: х=у=0.

Итак, мы рассмотрели разложение любого вектора по двум неколлинеарным векторам, доказали единственность этого разложения. Ввели координатные векторы  и  и ввели разложение любого вектора по этим координатным векторам  и . Соответствующие числа х, у мы назвали координатами вектора и решили некоторые стандартные задачи с векторами. Далее нам нужно научиться остальные операции с векторами проводить через их координаты.