Данный текст представляет собой неотредактированную версию стенограммы, которая в дальнейшем будет отредактирована.
InternetUrok.ru
Геометрия. 9 класс
Глава 1. Метод координат
Урок 8. Решение задач по теме «Уравнение окружности»
Тарасов В.А., учитель школы "Логос ЛВ", ст. преп. фак-та
довузовской подготовки МИТХТ
03.08.2010 г.
Уравнение окружности
Решение задач по теме «Окружность».
На прошлом уроке мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На этом уроке мы продолжим изучение уравнения окружности и используем его для решения более сложных задач.
Рисунок 1
Задача
Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности.
Найдите координаты центра и радиус каждой окружности.
а) (х-1)2+(у+2)2=25
б) х2+(у+7)2=25
в) х2+у2+8х-4у+40=0
г) х2+у2-2х+4у-20=0
д) х2+у24х-2у+1=0
Дано несколько уравнений. Будем рассматривать каждое уравнение в отдельности.
Рисунок 2
Решение
а) (х-1)2+(у+2)2=25 – окружность, центр С(1; -2), r=5
б) х2+(у+7)2=1 – окружность, центр С(0; -7), r=1
Первое уравнение. Это уравнение окружности. Центр точка С(1; -2), r=5.
Вот ответ на первое уравнение.
Второе уравнение описывает окружность. Центр этой окружности С(0; -7), r=1.
Третье уравнение.
Рисунок 3
в) х2+у2+8х-4у+40=0
(х2+2-4х+42)-42+(у2-2.2у+22)-22+40=0
(х+4)2+(у-2)2+20=0 Û хÎÆ
уÎÆ
Особенность его такова, что коэффициент при х2, у2 одинаковый, поэтому данное уравнение может быть уравнением окружности, а может и не быть.
Покажет стандартная операция – выделение полного квадрата.
х2+8х Выделяем полный квадрат (х2+2-4х+42)-42
Дальше у2-4у есть (у2-2.2у+22)-22 и все оставшееся 40.
Выделили полный квадрат (х+4)2
Выделили полный квадрат (у-2)2
И получается +20=0, но такое уравнение решения не имеет.
Число неотрицательное, число положительное.
Их сумма никак не может быть равна 0. Значит, это уравнение вообще не имеет ни одного решения. Это уравнение не является уравнением окружности.
Следующее уравнение.
Рисунок 4
г) х2+у2-2х+4у-20=0
(х2-2х.1+12)-12+(у2+2у.2+22)-22-20=0
(х-1)2+(у+2)2=25 – окружность, центр С(1; -2), r=5
Особенность та же, коэффициенты при х2, у2 одинаковы, значит, это уравнение может быть уравнением окружности.
Выделяем полный квадрат (х2-2х.1+12)-12
(у2+2у.2+22)-22
и -20=0
(х-1)2+(у+2)2=25
Это стандартное уравнение окружности. Итак, исходное уравнение есть уравнение окружности. Центр ее точка С(1; -2), r=5.
Эта задача решена.
Переходим к следующей. Вот последнее уравнение.
Рисунок 5
д) х2+у24х-2у+1=0
(х2-2.2х+22)-22+(у2-2у.1+12)-12+1=0
(х-2)2+(у-1)2=4 – окружность, центр С(2; 1), r=2
Снова выделяем полный квадрат х2-4х=(х2-2.2х+22)-22
у2-2у=(у2-2у.1+12)-12+1
Полный квадрат (х-2)2
Полный квадрат (у-1)2
(х-2)2+(у-1)2=4 Выясняется, что это уравнение есть уравнение окружности.
Ее центр точка С(2; 1), r=2
Задача полностью решена.
Следующая задача.
Рисунок 6
Задача
На заданной окружности уравнение х+у=25, найдите точки:
а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3. Сделайте чертеж.
Решение
а)
б)
Начнем с чертежа. Окружность имеет центр (0;0), r=5. Окружность изображена. Далее, абсцисса должна быть равна -4.
Если х=-4, то подставляем -4 в уравнение окружности и получаем уравнение для у, решаем его, получаем у2=9, т.е. у=±3.
Получаем две точки: А(-4; 3) – одна точка, В(-4; -3) – вторая точка.
Значит, задача а) решена.
Далее, ордината равна 3. Вот 3, ордината равна 3, нужно найти две точки пересечения.
у=3 и уравнение окружности
Два уравнения с двумя переменными.
у=3 уже подставили в уравнение окружности, получили уравнение относительно х.
Получили точку С(4; 3) и ту же самую точку А(-4; 3). Задача решена.
Следующая задача.
Рисунок 7
Задача
Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если:
а) А(0; 5), r=3; б) А(-1; 2), r=2; в) А(-3; -7), r=; г) А(4; -3), r=10
Решение
а) Окр.(А(0; 5); r=3); Ответ: х+(у-5)=9
б) Окр.(А(-1; 2), r=2); Ответ: (х+1)+(у-2)=4
в) Окр. (А(-3; -7), r=); Ответ: (х+3)+(у+7)=
г) Окр. (А(4; -3), r=10); Ответ: (х-4)+(у+3)=100
Вот случай:
а) Окр.(А(0; 5); r=3); Окружность с центром в точке А(0; 5), r=3.
Стандартное уравнение окружности. Подставляем координаты центра и радиус, получаем (х-0)2, т.е. х2; (у-5)2=r2
Вот уравнение первой окружности х2+(у-5)2=9
б) Вторая окружность с центром в точке А(-1; 2), r=2. Такое условие.
Выписываем уравнение окружности и сразу формируем ответ:
(х+1)2+(у-2)2=4 Получили искомое уравнение окружности.
Следующий случай.
в) Нужно написать окружность с центром в данной точке А(-3; -7) и данного r=;
Ответ: (х+3)2+(у+7)2=
Ответ получен.
И последняя задача.
г) Окружность имеет центр в точке А(4; -3), r=10.
Ответ: (х-4)2+(у+3)2=100
Получили ответ в последней задаче.
Задача полностью решена.
Следующая задача
Рисунок 8
Задача
Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через заданную точку В(-1; 3)
Решение
1) ОВ= т.е. r=
2) (х-а)2+(у-b)2=r2
а=0; b=0 проверка: т. В (-1)2+32=10
1+9=10
10=10
Ответ: х2+у2=10
Координаты центра заданы, осталось найти радиус. Находим радиус, он равен ОВ. А длину ОВ находим по стандартной формуле:
ОВ= т.е. r=
Вот у нас общее уравнение окружности (х-а)2+(у-b)2=r2
Теперь для него все есть.
а=0; b=0 – начало координат, r2=10
Ответ: х2+у2=10
Задача, в общем, решена, но для контроля можно проверить, принадлежит ли точка В(-1; 3) уравнению окружности.
Подставляем (-1)2+32=10, получается 10=10, принадлежит.
Следующая задача.
Рисунок 9
Задача
Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1; 3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5.
Сколько существует таких окружностей?
Рисунок 10
Решение
Дано:
1) А(1;3) – точка окружности; r=5
2) Центр С(а; b)ÎОх
Требуется:
Написать уравнение окружности (С, r=5)
Решение:
1) Окр. (А, r=5) Þ центры С1(а1; 0); С2(а2; 0)
2) а1=5 È а=-3
3) Окр. С1(5; 0), r=5 4) Окр. С2(-3; 0), r=5
(х-5)2+у2=25 (х+3)2+у2=25
Ответ: две окружности.
Дано, что точка А(1; 3) лежит на искомой окружности, а про искомую окружность известно, что ее r=5, а центр лежит на оси х.
Требуется написать уравнение такой окружности.
Точка А удалена от центра искомой окружности на расстояние 5, значит, мы можем написать окружность с центром в точке А радиуса 5.
Эта окружность имеет такой вид:
Значит, искомый центр лежит на этой окружности, и искомый центр лежит на оси х, т.е. на прямой у=0. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Система решается просто, у подставляется, находится х.
Мы подобные системы решали неоднократно, поэтому выпишем сразу ответ.
– это координаты первого центра
– координаты второго центра
Итак, выясняется, что две таких окружности есть. Вот один ее центр, вот второй ее центр. Координаты первого центра знаем, радиус знаем. Выписываем уравнение окружности (х-5)2+у2=25
Первый ответ нашли.
Второй ответ: Окружность с центром в точке С2(-3; 0), r=5
(х+3)2+у2=25
Ответ: Таких окружностей существуют две.
Уравнение каждой окружности мы написали. Задача решена.
Следующая задача.
Рисунок 11
Задача
Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки
А(-3; 0) и В(0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Рисунок 12
Решение
Дано:
А(-3; 0) Î Окр. (С(0; b); r)
B(0; 9) Î Окр. (С(0; b); r)
Требуется:
Написать уравнение окружности, т.е. найти bи r.
Решение: х2+(у-b)2=r2
Ответ: х2+(у-4)2=25
Итак, окружность искомая проходит через две заданные точки, центр ее лежит на оси у. Значит, центр С имеет известную координату 0, неизвестную координату b, и радиус неизвестен.
На самом деле мы знаем, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Выпишем уравнение окружности х2+(у-b)2=r2
Неизвестными здесь являются число b и число r или r2.
Но известно, что этому уравнению подчиняются координаты одной точки и второй точки.
Подставляем координаты первой точки в уравнение (-3)2+(0-b)2= r2
Координаты второй точки в то же самое уравнение 02+(9-b)2= r2
Получили систему двух уравнений относительно r и b
После очевидных упрощений получаем вот такую систему:
Из нее следует, что 9+b2=(9-b)2
Решаем это простенькое уравнение относительно b, получаем единственное значение b=4.
Зная b, находим r2=5, например, из этого уравнения 9+b2=r2
r2=9+42
r2=25 r=5
Теперь мы в состоянии выписать уравнение искомой окружности
х2+(у-4)2=25
Ответ получен, задача решена.
Рисунок 13
Задача
Напишите уравнение окружности с центром в точке А(6; 0), проходящей через точку В(-3; 2)
Рисунок 14
Решение
Дано:
Написать уравнение окружности
1) Находим r2
r2 = (BA)2 =(6+3)2 +(0-2)2 =85
2) Выписываем уравнение окружности:
(x-6)2+y2=85
Ответ: (x-6)2+y2=85
Для нахождения уравнения искомой окружности дана точка А(6; 0) – это центр искомой окружности. Точка В(-3; 2), которая лежит на этой окружности. Координаты центра известны. На самом деле надо найти только радиус или r2.
АВ=r, находим r2 = (BA)2, расстояние между двумя точками, формула известна: r2 = (BA)2 =(6+3)2 +(0-2)2 =85
Выписываем уравнение окружности: (x-6)2+y2=85
Ответ получен.
Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Окружность» и в каждой задаче использовали уравнение окружности.
На следующем уроке мы выведем уравнение прямой.
