Классы
Предметы

Арккосинус и решение уравнения cos x = a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Арккосинус и решение уравнения cos x = a

На уроке по  теме «Арккосинус и решение уравнения cos x=a» рассматривается понятие арккосинуса числа с примерами. Также решается уравнение вида cos x=a.

Введение. График функции y=cosx,  x∈[0;π]

На уроке рассматривается понятие функции арккосинус, как обратной для  функции косинус на отрезке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна и монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арккосинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арккосинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

Понятие арккосинуса числа, его определение и свойство

Пример 1. (рис. 1):

Пример 2. (рис. 1):

Определение:

Арккосинусом числа  называется такой угол  из промежутка , косинус которого равен .

Свойство: для любого числа,  выполняется равенство

Пример 3. Найти

Решение:

1-й способ: по графику на рис. 1:

2-й способ: по свойству:

Пример 4. (рис. 1):

Некоторые значения арккосинуса на единичной окружности

Построим единичную окружность и отметим на окружности точки , спроектируем на ось абсцисс (рис. 2) и запишем соответствующие значения косинусов.

Рис. 2. 

Примеры 5. (рис. 2):

Решение уравнения cosx=a при |a|≤1

Пример 6. Решить уравнение

Решение: на оси косинусов отложим  и проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точках  и  (рис. 3).

Рис. 3.

Объединяем эти решения одной формулой:

Ответ:

В общем виде решение уравнения  при :

Итог урока

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арккосинуса числа и решено уравнения вида , при .

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.13, 21.17, 21.20(а).