Классы
Предметы

Арксинус и решение уравнения sin x = a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Арксинус и решение уравнения sin x = a

На уроке по теме «Арксинус и решение уравнения sin x=a»  рассматривается понятие арксинуса числа, который можно вычислять по графику и на единичной окружности, и решается уравнение sin x=a.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арксинус и решение уравнения sinx=a

1. Введение. График функции y=sinx,  x∈[-π/2;π/2]

На уроке рассматривается понятие функции арксинус, примеры на вычисление арксинусов по графику и на единичной окружности,  решается уравнение  при .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной.

Функция  не монотонна на всей своей области определения, а на промежутке  она непрерывна, монотонна и пробегает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция для нее на этом промежутке, она называется арксинус.

Построим график функции  на отрезке  (рис. 1) и будем находить значения арксинусов чисел по этому графику.

Рис. 1.

2. Понятие арксинуса числа и его свойства

Определение:

Арксинусом числа  называется такой угол  из промежутка , синус которого равен числу

Свойство: для любого , такого что выполняется равенство

Примеры 1. (рис. 1):

3. Некоторые значения арксинуса на единичной окружности

Построим единичную окружность и отметим на ней точки , найдем соответствующие значения синусов на оси ординат (рис. 3).

Рис. 2.

Пример 2. (рис. 2):

Свойство: для любого , такого, что выполняется равенство

Пример 3. (проверка свойства):

4. Решение уравнения sinx=a при |a|≤1

Пример 4. Решить уравнение

Решение: на оси синусов отметим точку  , проведем перпендикуляр к оси до пересечения с окружностью в точках  и  (рис. 3).

Рис. 3.

Объединим эти решения одной формулой:

Ответ:

В общем виде решение уравнения  при :

Рассмотрим подробней объединение двух серий решений

Перепишем их следующим образом:

Замечаем, что если перед  стоит знак , то у числа  множителем является четное число  (см. первую строку), если же перед  стоит знак -, то у числа  множителем является нечетное число  (см. вторую строку).

Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения:

5. Частные случаи

 (рис. 4).

Рис. 4.

 (рис. 5).

Рис. 5.

 (рис. 6).

Рис. 6.

6. Итог урока

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арксинуса и решено уравнение вида , при  со своими частными случаями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.1,  21.2, 21.19, 21.20(б).