Классы
Предметы

Арктангенс и решение уравнения tg x = a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Арктангенс и решение уравнения tg x = a

На уроке по  теме «Арктангенс и решение уравнения tg x=a» рассматривается понятие арктангенса  числа. Рассматривается решение уравнения tg x=a и примеры.

Тема: Итоговое повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Арктангенс и решение уравнения tgx=a

1. Введение. График функции y=tgx,  x∈(-π/2;π/2)

На уроке рассматривается понятие функции арктангенс, как обратной для  функции тангенс на промежутке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной. Функция  непрерывна на любом интервале вида . В точках  функция претерпевает разрыв. Функция  не монотонна на всей своей области определения, поэтому выбираем главную ветвь тангенсоиды на промежутке , где она непрерывна, монотонна и принимает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция на этом промежутке, название которой - арктангенс.

 График функции  при приведен на рис. 1.

Рис. 1 .

По графику на рис. 1 можно найти значения арктангенсов некоторых чисел.

2. Понятие арктангенса числа, его свойства и примеры

Определение:

Арктангенсом числа  называется такое число  из интервала , тангенс которого равен числу  

Свойство 1: для любого числа

Примеры:

1)  (по рис. 1 );

2)  (  по рис. 1 ).

3. Некоторые значения арктангенса на единичной окружности с линией тангенсов

Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов. Отметим на окружности точки , найдем соответствующие точки на линии тангенсов (рис. 2).

Рис. 2.

Пример (рис. 2):

Свойство 2: для любого числа

4. Решение Решить уравнение tgx=a

Решение: построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, отметим на ней точку , найдем соответствующие точки на окружности (рис. 3),  в первой четверти и  в третьей.

Рис. 3.

Числа, соответствующие этим точкам, описываются формулами:

Объединяем эти решения одной формулой:

Ответ:

5. Примеры решения простейших тригонометрических уравнений с дополнительными условиями

1. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точку  на оси абсцисс (оси косинусов) и соответствующие точки  и  на единичной окружности (рис. 4).

Рис. 4.

Отбор корней выполняется по рис. 4:  не подходит, поскольку не удовлетворяет условию  

Ответ:

2. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точку  на оси ординат (оси синусов) и соответствующие точки  и  на единичной окружности (рис. 5).

Рис. 5.

Отбор корней выполняется по рис. 5:  не подходит, поскольку не удовлетворяет условию  

Ответ:

4. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, построив на единичной окружности точки  и , соответствующие точке  на линии котангенсов (рис. 4).

Рис. 6.

Отбор корней выполняется по рис. 6:  не подходит, поскольку не удовлетворяет условию  

Ответ:

6. Итог урока

На уроке был рассмотрен график функции  на промежутке , поскольку на этом промежутке функция непрерывна, монотонна и пробегает все свои значения от  до  Также было рассмотрено понятие арктангенса числа, решено уравнение вида  и рассмотрены примеры решения простейших  тригонометрических уравнений с дополнительными условиями.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 21.31, 21.34(а, б, в), 21.35(а, в).