Классы
Предметы

Определение функции, обратная функция

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Определение функции, обратная функция

На этом уроке мы рассмотрим важнейшие понятия в математике – функция и обратная функция. Мы вспомним, как построить график функции. Кроме того, рассмотрим метод нахождения функции, обратной данной, и решим примеры на нахождение обратной функции и построение ее графика.

Функция

Пусть  и  – это два множества.

Функция  – это соответствие, которое каждому элементу из множества  сопоставляет единственный элемент из множества .

Природа элементов множества  и  может быть любая, например числа.

Числовая функция

Если даны числовое множество  и правило , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу  из множества  определенное число , то говорят, что задана функция   с областью определения .

Областью определения функции  называют множество всех значений , для которых функция имеет смысл.

Множество всех значений функции ,  называют областью значений функции

,  

 – независимая переменная (аргумент)

 – зависимая переменная

 – область определения функции

 – область значения функции

 

График функции

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

Примеры

1. ; .

Графиком этой функции является часть гиперболы (см. Рис. 1). Область определения – это проекция графика на ось , область значения – это проекция графика на ось .

Область определения: .

Область значения: .

Рис. 1. График функции ;

Любая вертикальная прямая  (если  принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как, согласно определению функции, закон  такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

2.  (см. Рис. 2).

Рис. 2. График функции

Область определения: .

Область значения: .

3. ;  (см. Рис. 3).

Рис. 3. График функции;

Область определения: .

Область значения: .

4. ;  (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции ;

Область определения: .

Область значения: .

Монотонность функции

В монотонной функции каждое значение  достигается только при одном значении  (на рисунке 5 показан пример графика монотонно возрастающей функции). То есть уравнение , где , имеет только одно решение ( достигается при единственном значении ).

Рис. 5. График монотонной функции

Обратная функция

Пусть  – это монотонная функция. Следовательно, каждому  из области значения сопоставляется единственное значение  из области определения. Тем самым задается функция, которая называется обратной, и обозначается . В этом случае независимой переменной является , а зависимой – .

Обратная функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством значений и областью определения прямой функции.

 

У каждой монотонной функции есть обратная функция. Однако многие функции кусочно монотонные, обратные функции у них будут существовать только в тех интервалах, где они монотонны.

Например:

1. Функция  (см. Рис. 2) немонотонная,  достигается при  и при , следовательно, на всей области определения для этой функции не существует обратной.

2. Функция ;  (см. Рис. 3) монотонная (возрастающая), например,  достигается только при , следовательно, для нее существует обратная функция.

3. Функция ;  (см. Рис. 4) монотонная (убывающая), например,  достигается только при , следовательно, для нее существует обратная функция.

Графиком обратной функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Графики прямой и обратной функции

Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности: если прямая функция возрастает, то и обратная функция возрастает; если прямая функция убывает, то и обратная функция убывает.

Методика решения задач на нахождение обратной функции

Дано: монотонная функция  и ее график.

Найти: обратную функцию  и ее график.

Решение

1. Решим относительно  уравнение , где :

 

Мы получили обратную функцию в осях . Для удобства изменим название переменных, получим:

 – в осях

2. График обратной функции получим симметрией относительно  графика прямой функции.


Примеры на применение методики

Задача 1

Дано: монотонная функция.

 

Найти: обратную функцию  и ее график.

Решение

1. Решим относительно  уравнение , получаем:

 – обратная функция

Переобозначим переменные и получим:

 

2. График прямой функции – это правая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой (см. Рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Задача 2

Дано: монотонная функция.

 

Найти: обратную функцию  и ее график.

Решение

1. Решим относительно x уравнение , получаем:

 – обратная функция

Переобозначим переменные и получим:

 

2. График прямой функции – это левая ветвь параболы, график обратной функции будет симметричен относительно прямой  (см. Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)

2. Интернет-сайт helpmatan.ru (Источник)

3. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)

5. Интернет-сайт (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задание 7.21 (а, в), 7.44 (а), 10.4, 10.13 (а, в) (стр. 41-64) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник).

2. Дана функция ; . Найти обратную функцию и ее график.

3. Пусть область значений функции  есть отрезок . Найдите множество значений функции .