Классы
Предметы

Формулы двойного аргумента

На уроке выводятся формулы синуса и косинуса двойного аргумента из формул синуса и косинуса суммы аргументов и  формула для тангенса двойного аргумента двумя способами, анализируется ее область допустимых значений. Решается несколько задач на упрощение, вычисление и решение уравнений с помощью формул двойного аргумента.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки

«Упрощение выражений»

«Тригонометрия»

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Формулы двойного аргумента

1. Введение. Вывод формул для синуса и косинуса двойного аргумента

На уроке выводятся формулы двойного аргумента синуса и косинуса из формул синуса и косинуса суммы аргументов и  формула для тангенса двойного аргумента двумя способами, анализируется ее область допустимых значений. Решается несколько задач на упрощение, вычисление и решение уравнений с помощью формул двойного аргумента.

Доказать:

Доказательство:

при  имеем:

.

Аналогично доказывается формула косинуса двойного аргумента.

2. Вывод формулы для тангенса двойного аргумента

Доказательство (1-й способ):

При получается

Вывод формулы вторым способом подчеркивает особенность формулы, то есть сужение ОДЗ.

Доказательство (2-й способ):

при  .

3. Анализ формулы

1) Область определения левой части

Иллюстрация полученного множества допустимых значений приведена на рис.1.

Рис. 1.

2) Область определения правой части

Иллюстрация полученного множества приведена на рис.2.

Рис. 2.

Происходит сужение области определения – результат анализа формулы.

Пример на ОДЗ.

существует при

не существует при так как не существует

4. Формулы двойного аргумента для других углов

Применяя формулы двойного аргумента для угла :

то  и формулы примут вид:

Аналогично, можно применить формулы для аргумента .

sin4x = sin(2·2x) = 2sin2x·cos2x

5. Примеры применения формул

1.   Вычислить:

1) 

2) 

3) 

6. Решение задач

2. Дано:

Найти:   а)      б)

Решение:

а)

Учитывая, что , то

    Ответ:

б)

Ответ:

7. Задачи на упрощение

3. Упростить:

а) б)

Решение:

а) 

    Ответ: .

б) 

Ответ:

8. Решение уравнений

4.   Решить уравнение:

Решение:

или  

                                                                                       

Ответ:

9. Итог  урока

На уроке рассматривались формулы двойного аргумента и их использование при решении задач.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы понижения степени.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№№ 21.3(а, б), 21.4(а, б), 21.6(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)