Классы
Предметы

Преобразование выражения a⋅sin x+b⋅cos x к виду c⋅sin (x+t)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Преобразование выражения a⋅sin x+b⋅cos x к виду c⋅sin (x+t)

На уроке рассматривается преобразование линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т.е. выражение  к виду На примере конкретной задачи излагается общая методика преобразования.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Преобразование выражения a sin x+b cos x к виду c sin (x+t)

1. Введение. Решение задачи на данную тему

На уроке рассматривается преобразование линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т.е. преобразование выражения   к виду  На примере конкретной задачи излагается общая методика преобразования.

1. Задача:

Доказать:

Доказательство:

Обозначим левую часть через    Тогда

Методика:

                       Рис. 1.

1) В прямоугольном треугольнике с катетами  и  (см. рис.1).

2) Гипотенуза  в нашем случае

3) Все выражение умножить и разделить на значение   

Очевидно, аргумент  в нашей задаче , поскольку

Можно в качестве аргумента (угла)  взять другой острый угол в прямоугольном треугольнике. Для предыдущей задачи это угол  .

2. Доказать:

Доказательство:

Объединяя обе предыдущие задачи, получаем еще одну задачу.

3. Доказать:

Доказательство:

Используя четность функции косинус,  и формулу приведения , получаем:

Итак:

2. Преобразование выражения a sin x+b cos x к виду c sin (x+t)

Обобщая результаты предыдущих задач, получаем выкладки в общем виде.

4.   Доказать:

При

1) , где , ;

2) , где , .

Доказательство:

1)

 где , ;

Иллюстрация выбора аргумента (угла) дана на рис.2.

                  Рис. 2.

Поскольку

значит точка  лежит на единичной окружности

Т.к.  и  положительные величины, то точка находится в первой четверти (см. рис.3). Тогда

                     Рис. 3.

2) , где , .

   

3. Тригонометрические оценки

1. 

2.  ,т.к. .

3. ,т.к. .

4. Итог урока

На уроке изучался вопрос о преобразовании линейной комбинации синуса и косинуса одного аргумента, т.е. выражение   к виду :

 где ,,

или

, где ,

.

На следующем уроке будут решаться задач и уравнений.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник).  

 

Сделай дома

№№ 27.51(а, б), 27.52(а), 27.65(а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)