Классы
Предметы

Исследование функции y=(x3-4)÷(x-1)3 и сопутствующие задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Исследование функции y=(x<sup>3</sup>-4)&#247(x-1)<sup>3</sup> и сопутствующие задачи

На этом уроке изучается тема «Исследование функции  и сопутствующие задачи». На этом уроке рассматривается построение графиков функций с помощью производных. Проводится исследование функции , строится её график и решается ряд сопутствующих задач.

Тема: Производная

Урок: Исследование функции  и сопутствующие задачи

1. Исследование графика функции без производной

Дано: .

Надо исследовать эту функцию, построить график, найти промежутки монотонности, максимумы минимумы и какие задачи сопутствуют знанию об этой функции.

Сначала полностью воспользуемся той информацией, которая дает функция без производной.

1. Найдем интервалы знакопостоянства функции и построим эскиз графика функции:

1) Найдем  .

2) Корни функции: , отсюда

3) Интервалы знакопостоянства функции (см. рис.1):

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции.

Теперь знаем, что на промежутке  и  график находится над ось Х, на промежутке  - под осью Х.

2. Построим график в окрестности каждого корня (см. рис.2).

Рис. 2. График функции в окрестности корня.

3. Построим график функции в окрестности каждой точки разрыва области определения. Область определения разрывается в точке . Если значение  близко к точке , то значение функции стремится к  (см. рис.3).

Рис. 3. График функции в окрестности точки разрыва.

4. Определим, как ведет график в окрестности бесконечно удаленных точек:

Запишем с помощью пределов

. Важно, что при очень больших , функция почти не отличается от единицы.

2. Исследование графика функции с помощью производной

Найдем производную, интервалы ее знакопостоянства и они будут интервалами монотонности для функции, найдем те точки, в которых производная равна нулю, и выясним, где точка максимума, где точка минимума.

Отсюда, . Эти точки являются внутренними точками области определения. Выясним, какой знак производной на интервалах, и какая из этих точек является точкой максимума, а какая - точкой минимума (см. рис.4).

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.

Из рис. 4 видно, что точка  - точка минимума, точка  - точка максимума. Значение функции в точке  равно . Значение функции в точке  равно 4. Теперь построим график функции (см. рис.5).

Рис. 5. График функции .

Таким образом, построили график функции. Опишем его. Запишем интервалы, на которых функция монотонно убывает: ,  - это те интервалы, где производная отрицательна. Функция монотонно возрастает на интервалах  и .  - точка минимума,  - точка максимума.

3. Сопутствующие задачи

Задача.

Найти число корней уравнения  в зависимости от значений параметра.

Решение.

1. Построить график функции. График этой функции построен выше (см. рис.5).

2. Рассечь график семейством прямых  и выписать ответ (см. рис.6).

Рис. 6. Пересечение графика функции с прямыми .

Ответ:

1) При  - одно решение.

2) При  - два решения.

3) При  - три решения.

4) При  - два решения.

5) При  - три решения.

6) При  - два решения.

7) При  - одно решение.

4. Итог урока

Таким образом, решили одну из важных задач, а именно, нахождение числа решений уравнения в зависимости от параметра . Могут быть разные частные случаи, например, при каком  будет одно решение или два решения, или три решения. Заметим, что эти частные случаи, все ответы на эти частные случаи содержатся в общем ответе.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 45.7, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)