Классы
Предметы

Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x)=cos2x-cosx

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Типовые задачи на производную с тригонометрическими функциями. Функция f(x)=cos<sup>2</sup>x-cosx

В ходе урока  по теме «Исследование тригонометрических функций. Функция f(x)=cos2x-cosx» рассматривается решение  типовых задач на производную с  тригонометрическими функциями. Вначале урока обсуждаются особенности решения задач с тригонометрическими функциями. Затем исследуется  и строится график функции f(x)=cos2x-cosx.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

1. Особенности исследования тригонометрических функций

Тригонометрические функции имеют важную особенность – наличие периода. Всю методику, которую знаем для исследования функций без тригонометрических включений, используем, но надо учесть наличие периода.

Наличие периода дает возможность провести исследование функции и построение графика на отрезке длиной, равной периоду. Затем график функции периодически распространяется для всех значений аргумента из области определения функции.

2. Исследование функции без использования производной

Задача.

Построить график функции .

Преобразуем формулу: .

Найдем период данной функции. У функции  наименьший период . У функции , если понизить степень и выразить через  - период . Итак,

функция  имеет наименьший период . Это означает, что график функции сначала можно построить на промежутке длиной , а потом продолжить по периодичности.

Функция четная, так как  для всех  из . График симметричный относительно оси .

Учитывая периодичность функции, можно построить график этой функции на любом промежутке, длиной . Свойство четности функции дает возможность задачу упростить, а именно, построить график на участке , а на участке  - построить по симметрии.

Найдем  интервалы знакопостоянства функции.

:  .

, когда , отсюда 

Знак функции на каждом интервале удобно определить с помощью единичной окружности (см. рис.1). Точки , ,  - точки, которые формируют интервалы знакопостоянства функции.

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции  на единичной окружности

Выясним знак функции на интервале . Для этого возьмем значение функции в какой-нибудь точке из этого интервала. Например,

 , значит, на этом интервале функция отрицательна. Дальше, на интервале  функция меняет знак. В силу симметрии, на интервале  - функция отрицательна, а на интервале  - функция положительна (см. рис.2).

Рис. 2 Интервалы знакопостоянства функции

Построим график функции в окрестности каждого корня.

Точка  - является точкой максимума, так как на промежутках  и  - функция отрицательна, кривая находится под осью , и только в точке  она равна нулю. Значит, функция в окрестности корней ведет себя следующим образом (см. рис.3):

Рис. 3. График функции в окрестности каждого корня

3. Исследование функции с помощью производной и построение графика

Понятно, что на интервалах  и  – функция будет иметь точки экстремума.

Исследуем функцию с помощью производной:

 Приравняем ее к нулю:

 , отсюда  .

Найдем критические точки:

   - это все критические точки, которые имеет функция. Но нам нужны те, которые попадают в выбранный промежуток: , , . Вычислим значение функции в точках , и определим – это точки максимума или минимума.

Найдем интервалы знакопостоянства производной на единичной окружности (см. рис.4).

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной

Найдем знак производной, в какой- либо точке из интервала :

. Таким образом, точка  - точка минимума, а  - точка максимума. Вычислим:

; .

Построим график  функции  (см. рис.5-6).

Рис. 5. График функции  на

Рис. 6. График функции

Одна из типовых задач – нахождение множества значений функции.

Ответ:  .

4. Итог урока

На уроке рассмотрены особенности исследования и построения графика тригонометрической функции.  Все типовые задачи решаются аналогично  задачам из предыдущих уроков.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).  

2. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Домашнее задание

№ 726(а), 739(а) (Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.)