Классы
Предметы

Правило дифференцирования. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Правило дифференцирования. Типовые задачи

Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций. Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

Производная суммы

Дано: ; .

Существует ; .

Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:

Доказательство

Пусть задана функция , требуется найти .

По стандартному алгоритму требуется найти отношение :

При  получаем:

Что и требовалось доказать.

Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Аналогично производная разности функций равна разности производных:

Пример

1. .

2. Найти значение производной функции  в точке :

;  

Производная произведения

Дано: ; .

Существует ; .

Доказать, что существует производная от произведения  и вычисляется она по правилу:

Доказательство

Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение , вторая, соответственно, . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.

Разностное соотношение

Рис. 1. Разностное соотношение

Площадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.

Составим разностное соотношение. Пусть , ищем :

При :

А первое слагаемое стремится к нулю, так как  стремится к нулю.

Так, производная произведения функций:

Что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим важное следствие. Пусть , константа. Согласно правилу:

Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Производная степенной функции

Производная степенной функции:

Рассмотрим частные случаи:

;

Найдем эту производную по правилу произведения:

С другой стороны:

И так далее.

Поэтому угадывается формула:

 – мы принимаем ее без доказательства.

Производная частного

Дано: ; .

Существуют ; .

При этом , а значит, существует дробь .

Доказать, что существует производная частного  и вычисляется по формуле:

Доказательство

Представим .

Тогда по формуле производной произведения:

С другой стороны:

Из этих двух выражений получаем уравнение:

Умножим все уравнение на :

Что и требовалось доказать.

Решение примеров

Пример

 

Пример

Найти , если .

Решение

Вывод

Итак, мы рассмотрели правила дифференцирования и решили типовые примеры.

 

Список литературы

  1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики) – М.: Просвещение, 1996.
  4. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Cleverstudents.ru (Источник).            
  2. Solverbook.com (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Найти производную: ; ;
  2. Найти производную: ;
  3. Найти производную в точке