Классы
Предметы

Числовая окружность на координатной плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Числовая окружность на координатной плоскости

На этом уроке мы повторим важное свойство числовой окружности и поместим единичную числовую окружность в координатную плоскость по определенным правилам. Вспомним уравнение единичной числовой окружности и с его помощью решим несколько задач на нахождение координат точки на единичной числовой окружности. В конце урока составим таблицу координат для точек кратных π/6 и π/4.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Тема урока, повторение

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Рис. 1

Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на окружности.

Каждой точке  на числовой окружности соответствует не только число  но и все числа вида

 

Числовая окружность в координатной плоскости

Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.

(рис. 2).

Рис. 2

Наша задача – по данному числу  найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Пример 1.Дана точка  – середина дуги  Точке  соответствуют числа вида

Найти координаты точки  (рис. 3).

Рис. 3

Решение:

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка  лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности

 по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол  Это значит также, что прямая  делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая

Точка  лежит на прямой  поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим  прямоугольный (рис. 4).

Рис. 4

Итак, мы задали число  нашли точку  и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

Рис. 5

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Следующая задача – таким же образом определить координаты точек, кратных

Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость,  Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Рис. 6

Решение:

Рассмотрим  – прямоугольный.

 т. е. угол

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

Рис. 7

 

Мы задали число  нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Решение задач

Самостоятельно рекомендуется найти координаты точки, соответствующей числу

 

Пример 1. Дана точка  Найти её прямоугольные координаты.

Решение:

 

Точка середина третьей четверти (рис. 8).

Рис. 8

Вывод, заключение

Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.

 

Список литературы

  1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.
    А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.
    А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
  4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
  5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави). – М.:Высшая школа, 1992.
  6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
  7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
  8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mathematics.ru (Источник).
  2. Problems.ru (Источник).
  3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

№№ 12.1–12.4, 12.8, 12.14, 12.16.