Классы
Предметы

Периодичность функций y=sin t, y=cos t

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Периодичность функций y=sin t, y=cos t

На этом уроке мы рассмотрим периодичность функций у = sin t и у = cos t. В начале урока мы обсудим, откуда возникает периодичность у тригонометрических функций, вспомним, что такое координатная прямая и числовая окружность и как отображаются тригонометрические функции на числовой окружности. Далее дадим определение периодической функции и периода и найдем наименьший положительный период для функций синуса и косинуса. Также рассмотрим, как период влияет на исследование функции, рассмотрим графики функции синуса и косинуса на наименьшем положительном периоде и решим ряд задач с использованием периодичности этих функций.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Тема урока, введение

Периодичность функций, наличие периода – специфика тригонометрических функций. Какова причина его появления?

Причины возникновения периода

Во-первых, это определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Во-вторых, – специфика отображения аргумента на числовой оси или числовой окружности.

Рассмотрим подробнее. Пусть аргумент  откладывается на координатной прямой. Вспомним, что необходимо сделать, чтобы из обычной прямой получить координатную.

1. Отметить начальную точку.

2. Задать положительное направление.

3. Определить масштаб.

На координатной прямой существует взаимно-однозначное соответствие между точкой и действительным числом. Каждому действительному числу  соответствует своя точка на прямой и наоборот, каждой точке прямой соответствует одно действительное число (рис. 1).

На числовой окружности числу  соответствует единственная точка M. Но длина окружности радиуса 1 равна  Число  тоже попадет в точку M. Точка M соответствует бесчисленному множеству чисел вида .

У точки M единственная пара координат, т.е. единственные значения синуса и косинуса (рис. 2).

Еще  раз  посмотрим,  какое  существует  взаимоотношение  между  числовой  прямой и числовой  окружностью.  Представим  себе, что  бесконечная  тонкая  нить наматывается на тонкий обод радиуса 1. Тогда все точки  попадут в одну точку окружности. В этом и причина периодичности.

Определение периодичной функции, наименьший положительный период функций y=sint, y=cost

Дадим строгое определение периодичности.

Определение: Функцию  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого t  выполняется равенство

Число T называется периодом функции

Функции  имеют много различных периодов. Докажем, что  наименьший положительный период.

Доказательство:

Число  является периодом функций

Осталось доказать, что меньшего положительного периода не существует.

Пусть T – произвольный период. Тогда  для всех  в частности для

 (рис. 3).

Наименьшим положительным периодом вида  является .

Особенности исследования периодических функций y=sint, y=cost

Заменим аргумент t на x и обсудим исследование периодических функций  и

Так как  наименьший положительный период, то необходимо сделать следующее:

1) Построить график и исследовать функцию на любом отрезке длиной

2) Продолжить график и сформулировать свойства на всей области определения,

При этом необходимо учесть нечетность функции  и четность функции  

В соответствии с изложенной схемой рассмотрим функции  и

Функция  – периодическая, период  В силу нечетности достаточно исследовать её на участке  и симметрично отобразить график относительно начала координат (рис. 4). 

Рассмотрим функцию  Учтём, что она четная, график симметричен относительно оси y.

Мы можем построить график на участке  и симметрично отобразить относительно оси y (рис. 5).

 

Наличие периода позволяет решать многочисленные задачи.

Решение задач

Задача 1. Вычислить

a) 

b) 

Решение:

a) 

Ответ: 1.

b) 

Ответ:

Задача 2. Доказать тождество

Доказательство:

 верно для любого x.

Тождество доказано.

Задача 3. Решить уравнение

Решение:

Рис. 7.

На рисунке видно, что значению косинуса  соответствуют углы

Ответ:

Вывод, заключение

Мы выяснили причины периодичности тригонометрических функций, установили, что синус и косинус имеют много периодов – все числа вида   наименьший положительный период для функций

Наличие периода мы использовали для исследования функций и решения типовых задач.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.15, 16.18.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).