Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости» 

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости» 

На этом уроке вы научитесь решать задачи по теме «Числовая окружность на координатной плоскости». Узнаете различные способы  нахождения координат точки числовой окружности. Научитесь находить координаты точек, симметричных относительно осей координат и точки . Разберете решение задач на нахождение декартовых координат.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

Числовая окружность

Мы рассматриваем числовую окружность с центром в начале координат,  и началом отсчета в точке , как показано на рисунке 1.

Числовая окружность

Рис. 1. Числовая окружность

Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на этой окружности ( рис. 1).

Как получается эта точка ?

Откладываем дугу , равную по модулю , против часовой стрелки (если ) и по часовой стрелке (если ). Итак, точка  получена.

Каждая точка  имеет единственную пару декартовых координат: абсциссу  и ординату (рис. 1). Имеем действительное число , по нему находим единственную точку на окружности , а эта единственная точка на окружности имеет единственную пару декартовых координат .

Таким образом, каждому действительному числу  сопоставляется два числа  и . Имеем функции  и .

Далее этим функциям будут даны специальные названия  и . Закон, по которому каждому  сопоставляется пара чисел  и предъявлен. Он удовлетворяет единственности, а значит, введение двух функций обоснованно. С каждой функцией связано две основные задачи.

Прямая задача

По заданному  найти значение функции  и .

Обратная задача

По заданному значению зависимой переменной  или  найти все соответствующие значения аргумента . То есть найти множество всех значений аргумента, при которых зависимая переменная достигает заданного значения. Обратная задача имеет бесчисленное множество решений.

Решение вида t+2πn;

Числам соответствует одна и та же единственная точка  на окружности, то есть .

Почему же точкам  и  соответствует одна и та же точка  на окружности?

Потому, что  – длина единичной окружности. Ведь длина окружности , так как . Сделав полный оборот, из точки  мы снова попадаем в точку . Число далее будет называться наименьшим положительным периодом функции  и .

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка  соответствует на циферблате числу 1 и часовая стрелка указала на эту точку числа , то есть на 1, один час. Но если мы находимся в комнате без окон, то мы не сможем определить, что это, час дня или час ночи. Этот пример иллюстрирует неоднозначность решения обратной задачи.

Задача 1.

Дано действительное .

Найти: место расположения точки  и ее декартовы координаты  и .

Первый способ нахождения точки М

Рис. 2. Первый способ нахождения точки

Решение

Точку  можно найти несколькими способами.

Первый способ нахождения точки M

Дугу  равную  разделим на 3 равные части (рис. 2). Каждая часть – это . Значит, точка  имеет координату , так как .

Второй способ нахождения точки M

Можно использовать формулу длины окружности: . Стало быть, отложим угол  и получим точку .

Итак, расположение точки  найдено двумя способами.

Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки

Найдем декартовы координаты  и . Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника . В нем известна гипотенуза , известен острый угол  (рис. 3). Значит, ; .

Ответ:;.

Замечание: точка  находится в первой четверти, ее декартовы координаты положительны и совпадают с длинами катетов. Зная координаты точки , несложно найти координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра.

Задача-следствие

Задача 2.

Дана точка  ;.

Найти: координаты точек , симметричных относительно осей координат и точке .

Решение:

Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.

Для точки (рис. 4): ; ;.

Для точки (рис. 4): ; ; .

Для точки (рис. 4): ;; .

 

Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра

Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра

Замечание

Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка . Координата точки ;;;

Обратная задача

Дано значение абсциссы .

Найти множество значений аргумента.

Множество значений всех . А именно, решить уравнение . Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу  мы получали точку  и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.

Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки (рис. 5) в координаты  восстанавливаем перпендикуляр к оси  и получим две точки  и  на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой . Теперь нужно определить длину дуги (рис. 5). Рассмотрим треугольник . Гипотенуза – 1, катет – .

 Построение точки М и определение ее декартовых координат

Рис. 5. Построение точки  и определение ее декартовых координат

Значит, . Отсюда . И соответствующая дуга . , значит, первая криволинейная координата точки : , а точки : .Все координаты точки , а все координаты точки (рис. 5).

Ответ:

Задача на нахождение декартовых координат

Дано:

Найти: декартовы координаты точки

Решение:

Точка Р на окружности

Рис. 6.Точка  на окружности

Числам  и  соответствует одна и та же точка  на окружности. Точка  – середина дуги  (рис. 6). Декартовы координаты ее найдем из , в нем гипотенуза – 1. Известно, что .

Ответ:

 

Вывод

Мы сформулировали и рассмотрели основные задачи на числовую окружность в координатной плоскости.

 

Список литературы

  1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
  4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1997.
  5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И. Сканави). – М.: Высшая школа, 1992.
  6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997.
  7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10–11 классов общеобразов. учреждений). – М.: Просвещение, 2003.
  8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10–11 кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. В какой координатной четверти находится угол 196°?
  2. Определите  координаты точки числовой окружности .
  3. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам  и ?
  4. Что можно сказать о расположении точек на числовой окружности, соответствующих числам  и ?

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
  3. Интернет-портал Myshared.ru (Источник).
  4. Интернет-портал 5klass.net (Источник).