Классы
Предметы

Арксинус и решение уравнения sin t =a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Арксинус и решение уравнения sin t =a

На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.

Тема урока, введение

Мы узнали, что такое арксинус и теперь с его помощью решим уравнение  при любом допустимом .

Решение задач

Задача 1. Решить уравнение

Решение:

 значит, уравнение имеет решения.

Решим с помощью числовой окружности.

На линии синусов отметим точку  Проведём перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью. Получим две точки на окружности –  (рис. 1).

Выпишем множества действительных чисел, соответствующих точкам:

Возможна и иная форма записи:

Проиллюстрируем решение этого же уравнения на графике.

Необходимо построить графики функций  и найти абсциссы точек их пересечения (рис. 2).

Ответ:

Решение уравнения sint=a в общем виде

Решим уравнение   в общем виде.

Решение:

Отметим на линии синусов точку с координатой  Проведем перпендикуляр к линии синусов до пересечения с окружностью и получим две точки на окружности –  (рис. 3).

Точка  соответствует множеству действительных чисел

Точка  соответсвует множеству действительных чисел

Используем иную запись ответа

При  четном, т.е.  получаем формулу (1);

При  нечетном, т.е.   получаем формулу (2).

Ответ:

Частные случаи уравнения sint=a

Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения  

a)

b)

c) 

Решение уравнений

Рассмотрим более сложные уравнения.

Задача 2. Решить уравнение

Решение:

Произведём замену переменной:

 (не подходит);

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

 (не подходит).

Теперь решим уравнение  (рис. 7).

Либо

Ответ:

Вывод, заключение

Мы рассмотрели решение уравнения  для любого  при этом использовали определение арксинуса.

На следующем уроке мы познакомимся с определением арктангенса.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 22.9 – 22.12.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).