Классы
Предметы

Арктангенс и решение уравнения tg x=a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Арктангенс и решение уравнения tg x=a

На этом уроке мы познакомимся с понятием арктангенса. В начале рассмотрим график функции у = tg t на наименьшем положительном периоде, вспомним ее свойства и сформулируем прямую и обратную задачу для нашей функции. Дадим определение арктангенса как решения обратной задачи. Далее рассмотрим нахождение арктангенса на числовой окружности с помощью линии тангенсов. Докажем важное свойство арктангенса: арктангенс от минус а равен минус арктангенсу а. В конце урока решим несколько задач вычислительного и сравнительного типа, иллюстрируя решение на графике и на круге.

График функции y=tgt, понятие арктангенса

Чтобы ввести понятие арктангенс, рассмотрим функцию

Построим её подробный график.

На оси абсцисс будем откладывать точки кратные  На оси ординат отложим соответствующие значения функции, известные нам из таблиц (рис. 1).

Промежуток  был выбран, так как на нем функция принимает все свои значения от  и монотонно возрастает.

Напомним о прямой и обратной задаче для любой функции.

Прямая задача: по заданному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, если аргумент равен  то значение функции равно 1.

Обратная задача: задано значение функции, найти соответствующее значение аргумента промежутке . Например, если

Каждое значение функции  на промежутке  достигается только при одном значении аргумента и называется арктангенсом.

Определение арктангенса и графическая интерпретация

Арктангенс  это такое число  тангенс которого равен

Значения арктангенса определяются по графику (рис. 1).

Например:

Покажем, как определять значения арктангенсов на тригонометрической окружности с помощью линии тангенсов.

Отметим на числовой окружности точки  Соединим каждую из них с  началом координат и проведем лучи до пересечения с линией тангенсов. Получим значения тангенсов для указанных углов (рис. 3).

Примеры:

Свойства арктангенса

Отметим важное свойство арктангенса:

Проиллюстрируем его на единичной окружности (рис. 4).

Если

Если  ему соответствует дуга

Например:

Решение задач

Задача 1. Вычислить:

Решение:

Значения арктангенсов определим по графику (рис. 1) или по свойству.

Ответ:

Задача 2. Расположите в порядке возрастания числа:

Решение (рис. 5).

На промежутке  функция монотонно возрастает

Задача 3. Вычислить

Решение:

Найдем  

 

Проиллюстрируем решение на прямоугольном треугольнике (рис. 6).

Дан угол  т.е. катеты равны  Гипотенузу находим по теореме Пифагора, 

Ответ:

Задача 4. Вычислить

Решение:

Проиллюстрируем решение на прямоугольном треугольнике  (рис. 7).

Ответ:

Задача 5. Вычислить

Решение:

Ответ:

Вывод, заключение

Мы познакомились с понятием арктангенс и решили типовые задачи. На следующем уроке мы решим уравнение  с помощью арктангенса.

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№ 21.31, 21.35, 21.48 (а, г).

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).