Классы
Предметы

Исследование функций

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Исследование функций

На этом уроке мы повторим исследование функции и построение ее графика с использованием производной.
В начале урока мы вспомним определение производной и ее геометрический и физический смысл.
Далее мы рассмотрим примеры на исследование функций без производной и с помощью производной, а также задачи на нахождение точек экстремумов и построение эскизов графиков без производной и с помощью производной.

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Исследование функций

1. Определение производной, ее физический и геометрический смысл

Есть независимая переменная, например, время. Есть зависимая переменная, например, расстояние от дома. Есть график функции (Рис. 1).

Рис. 1.

 – момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии  от дома.

Через некоторое время  мы будем находиться на расстоянии  от дома. Мы имеем приращение аргумента – , и приращение функции – .

Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где  – тангенс угла наклона этой секущей.

Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.

Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл.

А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.

За конечное время  может произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремим  к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке . Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:

Более строгое определение:

Такой предел называется производной функции и обозначается .

Каков физический и геометрический смысл производной?

– это мгновенная скорость в момент .Таков физический смысл производной.

Геометрический смысл: – тангенс угла наклона касательной в точке .

Методику исследования функции и построение ее графика напомним на конкретном примере.

2. Методика исследования функции и построение ее графика на примере

Дано:. Построить эскиз графика функции (без ).

Решение:

1. Выделить интервалы знакопостоянства функции  и определить знаки функции на них.

Это делается так: находим корни числителя  и корни знаменателя . Получим три интервала. Методом пробной точки определяем знак на каждом из них (Рис. 2).

Рис. 2.

2. Построить эскиз в окрестности:

а. каждого корня ;

б.каждой точки разрыва ;

в. бесконечно удаленных точках.

Что это означает и как это выполнять?

У нас только один корень – . Ясно, что функция в ее окрестности будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3. Это обусловлено тем, что слева от этой точки функция отрицательна, а справа – положительна. То есть в окрестности этой точки функция возрастает.

Теперь рассмотрим точку разрыва . В окрестности этой точки события развиваются следующим образом: если  очень мал, то дробь очень большая, его значения в окрестности этой точки отрицательны. Значит, кривая будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Далее, разберем, что означает рассмотреть  в окрестности бесконечно удаленных точек:

Следовательно, график функции в окрестности этой точки будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Рис. 3.

Мы уже можем угадать график.

1. Использовать непрерывность  на ОДЗ.

То есть соединить те линии, которые на рисунке 3 изображены пунктиром.

Дано:. Построить эскиз графика функции (с ).

Решение:

2. Следует выделить интервалы знакопостоянства производной  и определить знаки производной   на них.

Найдем производную.

Определим интервалы знакопостоянства. Для этого найдем корни числителя  и корни знаменателя . Мы получили три интервала. Точка  – точка максимума, поскольку справа функция убывает, а слева – возрастает. Значение функции в этой точке можем вычислить .

Рис. 4.

3. Найти точки экстремума, уточнить график, выписать ответ.

Мы это уже проделали.

Мы готовы сформулировать этапы построения функции и выписать ответ.

Ответ: функция :

- убывает при ;

- возрастает при ;

- имеет точку максимума при 

3. Сопутствующая задача

Умея проделывать все эти этапы, мы можем решать ряд задач. Вот некоторые из них.

Задача 1: Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет:

а. хотя бы один корень;

б. только один корень.

Методика решения подобных задач состоит в следующем: построить график функции . Мы этот график построили, функцию исследовали и все про нее знаем. Далее нам необходимо рассечь наш график семейством функций  при различных . Нужно найти количество точек пересечения и выписать ответ.

а. Нам нужно найти такие  , при которых наше уравнение имеет хотя бы один корень. Множество значений функции . Поэтому ответ в этом пункте – .

б. Нам нужно такое значение , чтобы уравнение имело только один корень. Из графика видно, что при  и  = будет только один корень.

Ответ получен.

Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

Эта задача проще, чем просто исследовать функцию. Для решения нужно сделать следующие действия. Найти значение функции на концах отрезка и в критических точках, которые расположены на этом отрезке.

Таким образом, если аргумент меняется в пределах , то функция меняется .

Тогда мы можем записать ответ.

Ответ: .

Мы видели, что методика исследования функции важна для решения многих задач. Закрепим эту методику, решив следующую задачу.

Задача 3: Исследовать функцию .

Решение:

1. Построить эскиз графика функции без .

Для начала надо выделить интервалы знакопостоянства функции (Рис. 5).

Рис. 5.

То есть функция может изменить знак, только когда аргумент проходит через 0 или 2. Далее построим эскиз графика в окрестностях точек 0 и 2. Заметим, что точка 0 является точкой максимума. Производная должна это подтвердить. Если , то функция тоже стремится к плюс бесконечности. Если , то функция тоже стремится к минус бесконечности. Таким образом, график функции угадывается и выглядит, как на рисунке 5.

4. Нахождение максимума и минимума на отрезке

2. Построение графика с .

Определим знакопостоянство  (Рис. 6)

– точка максимума

 – точка минимума

Рис. 6.

Итак, график мы обосновали. Он имеет вид, как на рисунке 7. Запишем ответ.

Рис. 7.

Ответ:

1.  возрастает при ;

2.  убывает при ;

3.  – точка минимума, ;

4. – точка максимума, .

На этом занятии мы вспомнили, как исследовать функцию с помощью производной. На следующем занятии мы вспомним, как находить касательную к графику в точке.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Мнемоника.ру (Источник).

3. Википедия (Источник).

 

Домашнее задание

1. Постройте график функции

2. Найдите все значения параметра , при которых уравнение  имеет:

а. хотя бы одно решение;

б. имеет единственное решение.

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 769, 776, 777, 781.