Классы
Предметы

Касательная

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Касательная

На данном уроке мы вспомним, как найти уравнение касательной, и решим типовые задачи по этой теме

1. Повторение

Напомним, как получить уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой .

Рис. 1. График функции

Имеем график функции (Рис. 1). Независимая переменная  или время . Функция (зависимая переменная) , или расстояние от дома .

В момент времени  расстояние от дома равно . Следующий момент времени , и расстояние в этот момент равно .

Получим две точки , и пока что не касательную, а секущую . Угол наклона этой секущей – . Имеем приращение аргумента – , приращение функции – , и рассмотрим отношение приращений:

Средняя скорость является физическим смыслом этого отношения. А тангенс угла наклона – геометрическим смыслом.

Перейдем к касательной. Для этого  устремим к 0.

При , . Тогда точка  будет стремиться к точке . Тогда секущая  будет стремиться к касательной.

 – угол наклона касательной.

Рассмотрим отношение приращений при .

Более строгое определение производной

Нам важно знать, что

То есть значение производной в точке – это мгновенная скорость в момент . Это физический смысл. Геометрический смысл – это тангенс угла наклона касательной в этой точке. Итак, для касательной мы уже знаем тангенс угла наклона.

2. Уравнение касательной

Построим касательную к графику  с абсциссой в точке  (Рис. 2).

Касательная – это прямая. Ее уравнение имеет вид .

Следовательно, надо узнать угловой коэффициент   и свободный член . Узнаем их из условий касания. Вот эти условия:

Рис. 2. Касательная к графику  с абсциссой в точке

3. Параметры, используемые в уравнении касательной

Из этих условий сразу нашли первый параметр, то есть . Теперь уравнение касательной имеет вид:

Осталось найти свободный член .

Наша прямая проходит через заданную точку А. Подставим ее в уравнение:

Подставим найденное в исходное уравнение:

Чтобы уверенно решать многочисленные задачи на касательную, надо понимать смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

Напомним:

1.       – точка касания

2.     

3.      - точка на касательной

Заметим, что в окрестности точки  и кривая, и касательная – это примерно одно и тоже, то есть:

Это является основой многочисленных приближенных вычислений.

 

4. Задача №1

Дано:

1. Написатьуравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой  (Рис. 3).

Рис. 3. Касательная к кривой  в точке с абсциссой

Решение:

1.      Найти точку касания:

2.      Найти производную в любой точке:

3.      Найти производную в конкретной точке :

4.      Выписать уравнение касательной

Ответ: .

Дано:.

2. Найти:а) площадь ; б) его гипотенузу (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Решение:

1.      Найдем координаты точки С:

2.      Найдем координаты точки В:

3.      Найдем площадь:

4.      Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

Ответ: .

3. Написать уравнения касательных, проведенных из точки  к параболе  (Рис. 5).

Решение:

Выпишем уравнение касательной:

Далее по стандартной методике находим сначала первую касательную:

1.     

2.     

3.     

Найдем вторую касательную:

1.     

2.     

3.     

Ответ: .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

5. Задача №2

Дано: 1. график функции (Рис. 6);

2. Касательная к нему в точке

Найти:

Рис. 6. График функции к задаче № 2

Решение:

1.     

2.     

Ответ: .

6. Задача №3

Дано:

1.      График функции  (Рис. 7);

2.      Касательная к нему в точке

Найти:

Решение:

1.     

2.     

3.     

4.     

Рис. 7. Иллюстрация к задаче № 2

Ответ: .

Мы повторили тему касательная. Следующий урок посвятим изучению важной темы – интеграла.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Berdov.com (Источник).
  2. Uztest.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Напишите уравнение касательной к функции  в точке .
  2. Напишите уравнение касательной к функции  в точке .
  3. В какой точке кривой  касательная наклонена к оси абсцисс под углом .
  4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 814, 815, 823, 824.