Классы
Предметы

Тригонометрические функции y = tg t, y = ctg t

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Тригонометрические функции y = tg t, y = ctg t

На этом уроке мы повторим определение тангенса и котангенса и подробно рассмотрим основные свойства тригонометрических функций у = tg x и у = ctg x. Мы вспомним определение функции как закона соответствия. Также подробно рассмотрим числовую окружность и линии тангенсов и котангенсов.
Рассмотрим несколько примеров на нахождение значений тангенсов и котангенсов на числовой окружности. Дадим определение периодичности и наименьшего положительного периода рассматриваемых тригонометрических функций и рассмотрим несколько примеров на нахождение периода. Подробно рассмотрим графики этих функций у = tg x и у = ctg x.
В конце урока мы рассмотрим формулы, связывающие между собой синус, косинус, тангенс и котангенс числа t, и решим задачу с использованием этих формул.

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Тригонометрические функции y = tg t, y = ctg t

1. Определение функции

Функцией  называется закон, по которому каждому допустимому значению  ставится в соответствие единственное значение .

 – аргумент, независимая переменная

 – функция, зависимая переменная

 – область определения. Обозначается

 – область значений. Обозначается

Теперь напомним определения конкретных функций  y = tg t, y = ctg t

Каждому действительному числу  соответствует единственная точка  на числовой окружности. Эта точка  будет иметь две координаты. То есть, . Назовем  (Рис.1).

2. Определение функций  y = tg t, y = ctg t

 

 

Рис. 1.

Из рассмотрения подобных треугольников, мы говорили, что  – линия тангенсов, а  – линия котангенсов (Рис. 1). Таким образом, мы определили функции  и .

3. Периодичность функций y = tg t, y = ctg t

Функции  периодические. Наименьшим положительным периодом для данных функций является число . Поясним это.

Продлив прямую , получим вторую точку  а также угол , точки  и  (Рис. 2).

Рис. 2.

Отсюда:

 

По формулам приведения, получим:

Аналогично, для котангенса:

 

Сделаем выводы:

 

для любого допустимого .

4. Связь числового и углового аргумента, примеры

Мы знаем, как по заданному значению аргумента  получить . Для этого можно воспользоваться линией тангенсов. Мы знаем также, что наименьший период – .

Приведем конкретные примеры для тангенса (Рис. 3).

Рис. 3.

Из рисунка видно, что:

Примеры можно продолжать.

Приведем аналогичные примеры для котангенса (Рис. 4).

Рис. 4.

Из рисунка видно, что:

 

5. График y = tg t, свойства

Построим график функции . Он частично отображен на Рис. 5:

 

Рис. 5.

Охарактеризуем основные свойства функции:

 

1. Область определения:

2. Область значения:

3. Функция нечетная, то есть , график функции симметричен относительно начала координат

4. Наименьшим периодом является число

5. На промежутке функция монотонно возрастает. Значит, любому значению  соответствует  единственное значение аргумента .

Таковы основные свойства функции .

6. График y = ctg t, свойства

Аналогично рассмотрим функцию .

Построим график функции . Он частично отображен на Рис. 6:

 

Рис. 6.

Охарактеризуем основные свойства функции:

 

1. Область определения:

2. Область значения:

3. Функция нечетная, то есть , график функции симметричен относительно начала координат

4. Наименьшим периодом является число

5. На промежутке функция монотонно убывает. Значит, каждое значение  она принимает  только при одном значении аргумента, которое называется .

Таковы основные свойства функции .

7. Рассмотрение задачи, связанной с периодичностью функций y = tg t, y = ctg t

Спецификой тригонометрических функций является наличие у них периода. Рассмотрим и обсудим одну из задач, связанную с периодом.

Для начала напомним, что:

1.

2.

Приведем пару примеров:

3.

 – функция периодическая, наименьший период которой равен . Данная функция тоже периодическая, наименьший период .

 

Важно, что коэффициент, стоящий перед параметром , равен 3. Поэтому данная функция имеет наименьший положительный период, равный .

8. Формулы, связывающие тригонометрические функции

Рассмотрим формулы, связывающие между собой  . Эти формулы являются следствием определений этих функций.

Имеем единичную числовую окружность, заданное число , точка на окружности  имеет две координаты: . Получаем  на линии тангенсов и на линии котангенсов (Рис. 1).

Вспомним уравнение окружности:

Сразу же получаем основное тригонометрическое тождество, которое справедливо для любого числа :

Преобразуем это тождество, поделив его части на:

Получаем следующую формулу:

Аналогично, поделив исходное тождество на , получим:

И наконец:

Таковы основные формулы, связывающие.

Теперь рассмотрим конкретную вычислительную задачу.

Дано:

.

Найти:

.

Прокомментируем условие задачи. Известен , который не задает однозначно угол, но данный угол лежит в 3 четверти, а такой угол только один (Рис. 7).

Рис. 7.

Решение:

1. Найдем .

2. Так как , то:

Отсюда:

, так как угол находится в 3 четверти.

3. Найдем .

Так как , то:

Отсюда:

, так как угол находится в 3 четверти.

Ответ: .

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Математика.ру (Источник).

3. Википедия (Источник).

4. Школьный сайт «Школьная жизнь» (Источник).

 

Домашнее задание

1. Определите наименьший положительный период функций: .

2. Найдите значения всех тригонометрических функций, если .

3. Постройте график функции .

4. Алгебра и начала анализа, Мордоквич А.Г.: № 93-97