Классы
Предметы

Тригонометрические уравнения, вычисления

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Тригонометрические уравнения, вычисления

На этом уроке мы повторим тригонометрические уравнения и вычисления.
В начале урока мы вспомним определения прямой и обратной задачи для некоторой функции и повторим определения основных тригонометрических функций. Решим несколько простейших тригонометрических уравнений и более сложное уравнение с использованием замены переменной.
В конце урока мы вспомним формулы двойного и половинного аргумента, а также формулу универсальной тригонометрической подстановки и решим обобщенную задачу на эту тему.

Тема: Повторение курса алгебры 10 класса

Урок: Тригонометрические уравнения, вычисления

 

1. Определение прямой и обратной задачи

С любой конкретной функцией связаны две задачи: прямая и обратная.

Пусть .

Прямая задача:

Дано: задано значение аргумента .

Найти: соответствующее значение функции .

Обратная задача:

Дано: задано значение функции .

Найти: множество всех значений аргумента , при которых  (найти все значения , удовлетворяющие данному соотношению).

Решение прямой и обратной задачи зависит от закона, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

2. Напоминание определений функций
  y = sin t, y = cos t, y = tg t, y = ctg t

Напомним каждый из этих законов для тригонометрических функций.

 

Рис. 1.

Таким образом, заданы функции .

Заметим, что , если  вычислять в радианах.

После сделанных напоминаний рассмотрим подробно следующее уравнение:

Дано: .

Найти: все значения аргумента , синус которых равен .

Рис. 2.

Решение:

Ответ:

3. Рассмотрение решения тригонометрического уравнения

Решение множества тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим уравнениям:

1.

2.

3.

4.

4. Сведение тригонометрических уравнений к простейшим

Следующая задача позволит проверить, насколько четко мы понимаем решение одного из простейших уравнений.

Решить систему:

В данном случае мы имеем смешанную систему, то есть в системе есть как уравнение, так и неравенство.

Обсудим решение уравнения.

Точки  проектируются на линию косинусов в точку . Точка  соответствует множеству углов, а именно . Точка  соответствует другому множеству углов, а именно  (Рис. 3).

Рис. 3.

Таким образом, мы обсудили, как необходимо решить задачу.

5. Рассмотрение решения простейшего тригонометрического уравнения

Решение:

1.

2.

Так как для точки  , а для точки  , получаем ответ.

Ответ: .

6. Применение метода замены переменных для сведения исходного тригонометрического уравнения к простейшему

Имеется несколько важнейших методов, с помощью которых исходное тригонометрическое уравнение сводится к простейшему. Важнейшим из этих методов является замена переменных.

Продемонстрируем данный метод на следующем уравнении.

Решить уравнение: .

Решение:

Так как аргументы в данном уравнении одинаковы, а функции разные, необходимо свести к одной функции:

В результате решения квадратного уравнения получили корни:

Оказывается, исходное уравнение равносильно уравнению:

Ответ:  .

7. Основные формулы тригонометрии в применении для решения простейшей вычислительной задачи

Сведение тригонометрических уравнений к простейшим, многочисленные преобразования выполняются с помощью формул тригонометрии. Некоторые из них мы вспомним с помощью следующей обобщенной вычислительной задачи.

Дано: .

Найти:

1. ;

2. ;

3.

      

Рис. 4.

Решение:

Рис. 5.

1. Вспомним связь между тангенсом и косинусом:

Так как тангенс нам известен:

Найдем :

И, наконец, используем связь между синусом и котангенсом:

Ответ:

 

Рис. 6.

2. Воспользуемся формулами понижения степени и найдем :

Найдем :

Ответ: .

3. . Отсюда ;

. Отсюда ;

. Отсюда ;

.

Ответ: ; ..

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Вся элементарная математика (Источник).

2. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

3. Википедия (Источник).

 

Домашнее задание

1. Упростите выражение:  при .

2. Докажите тождество:

3. Решите уравнение: .

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 278-280, 286, 288