Классы
Предметы

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика

На этом практическом занятии мы рассмотрим примеры, демонстрирующие методы построения графиков основных типов простейших функций, решим задания на исследование функции по изображенному графику и задачи на преобразования графиков функций.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов заданий С5.

Подготовка к ЕГЭ по математике 

Эксперимент 

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций 

Практика

Конспект урока

Построение графиков основных функций

Сначала разберем примеры на построение графиков основных функций.

Задача №1. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а)

0

-1

1

2

Как видим,  и угол наклона к оси  острый,  смещение по оси .

б)

0

2

1

1

 и  можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в)

0

0

1

2

 угол наклона к оси острый,  график проходит через начало координат.

г)

 константная функция, прямая проходит через точку  и параллельно оси .

Задача №2. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся методом построения квадратичных функций «по вершине».

а)

 ветки параболы направлены вверх, .

 

Если возникает вопрос, как точно строится парабола, т.е. с какой именно скоростью растут и убывают ее ветки, то можно запомнить следующий факт: если старший коэффициент  или , как это часто бывает, то при смещении от иксовой координаты вершины на единицу влево или вправо значение функции сначала изменяется на 1, потом на 3, затем на 5 и т.д., т.е. на нечетные числа.

Например, в нашем графике:

Для функций, у которых старший коэффициент , значения изменений функции умножаются на это «». Например, построение функции  выглядит так:

Но, как правило такая точность построения не важна, а нужен только эскиз графика, поэтому в дальнейшем мы не будем это учитывать.

б)

 ветки параболы направлены вверх, .

 

в)

 ветки параболы направлены вниз, .

 

Кстати, график проходит через ноль, что легко проверить подстановкой в функцию точки  или обратив внимание на то, что .

Задача №3. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся нашим методом построения дробно-рациональных функций «по асимптотам».

а)

Вертикальная асимптота определяется решением уравнения, которое показывает, что знаменатель дроби равен нулю: .

Горизонтальную асимптоту определим по тому быстрому способу, который мы указали в лекции. Она определяется отношением коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе: .

Для определения расположения веток гиперболы подставим в функцию любую точку из области определения, т.е. кроме, например, : , т.е. координаты этой точки  через нее и проведем одну ветку гиперболы, вторая будет располагаться наискось.

Теперь строим гиперболу, прижимая ее к асимптотам:

Остальные пункты строим аналогично.

б)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: , т.е. асимптотами являются оси координат.

Проверочная точка: .

в)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: .

Проверочная точка: .

Задача №4. Построить графики функций: а) , б) , в) .

Решение. По сути дела, указаны функции, которые не имеют особых методов построения их графиков. Поэтому если необходимо изобразить их эскиз, то просто вспоминаем теорию, а если необходимо построить графики более точно, то следует подставить несколько контрольных точек, так и поступим.

а)

Подставим полные квадраты, чтобы вычислить из них целые значения корня.

0

0

1

1

4

2

б)

Подставим несколько значений и учтем общий вид графика.

0

1

1

3

2

9

Т.к. основание степени , то функция растет.

в)

Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтем общий вид графика.

1

2

1

0

2

-1

Т.к. основание логарифма , то функция убывает.

 

 

Исследование функции по изображенному графику

Теперь давайте попробуем научиться решать обратную задачу – по изображенному графику исследовать функцию.

Задача №5. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

г)

Решение. Для определения знаков коэффициентов  и  вспомним, как от них зависят формы графиков.

а) Острый угол наклона прямой к оси  (функция возрастает) – это . Точка пересечения с осью  - это .

Далее аналогичные рассуждения.

б)

в)

г) Константная функция, т.к. график параллелен оси , т.е. , а .

Задача №6. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

Решение. Вспомним, как параметры  и  определяют положение параболы.

а) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины .

б) Ветви вверх, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, .

в) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, .

Преобразование графиков функций

И теперь переходим к рассмотрению примеров на преобразование графиков функций.

Задача №7. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. Когда сложная функция получена из простейшей путем нескольких преобразований, то преобразования графиков выполняются в порядке арифметических действий с аргументом, например, умножение идет до сложения и т.п.

а)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вправо на 1:

в)

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

Конечно же, можно построить эту функцию как квадратичную после раскрывания скобок. Проверьте это самостоятельно.

г)

Преобразование в одно действие типа .

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида ,  и .

Для выполнения преобразований в порядке действий обратим внимание, что сначала будет выполняться умножение, затем сложение, а затем смена знака. Чтобы умножение применялось ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

 

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на  вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

 

В этом практическом уроке мы привели множество примеров на работу с графиками функций.