Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Простейшие вероятностные задачи

На этом уроке будет рассмотрена тема «Простейшие вероятностные задачи». Мы вспомним определение вероятности, а также решим несколько задач с использованием этого определения.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Теория вероятностей»

Введение

Характерной особенностью большинства разделов курса математики является определенность неизвестных, которые нужно было найти при решении задач.

Например, если известна длина ребра куба, то его объем рассчитывается определенным способом. Если же задана зависимость положения тела от времени, то мгновенная скорость в момент времени также определяется однозначно.

Однако при попытке применить подобные вычисления к реально существующим объектам, мы неизменно столкнемся с тем фактом, что их результаты никогда не совпадут с результатами измерения тех же самых величин.

Все дело в том, что в реальности никогда не срабатывают условия, стоящие после слова «если». Например, мы никогда не знаем точное значение ребра куба. Да и само понятие «куб» сугубо идеалистическое, и ничего подобного в мире нет. Также не доступно для измерения точное значение мгновенной скорости тела и его координаты. (рис.1)

Рис. 1. Куб, измерение длины его ребра. Тело в системе координат, измерение его мгновенной скорости

В тот же ряд можно отнести номер выигрышного лотерейного билета или количество учеников, которые, окончив школу в этом году, поступят ближайшим летом в какой-то определенный университет. События такого характера называют случайными. Изучением закономерностей случайных событий занимается теория вероятности.

Базовые понятия теории вероятности нам уже известны, так как они были рассмотрены на уроке алгебры в 9 классе (пересмотреть которые можно, кликнув по ссылке: (Источник).

Практическое решение задач

Давайте перейдем к практическому решению задач. Для этого стоит вспомнить такие понятия, как общее число элементарных исходов и число благоприятных исходов. Непосредственный подсчет вероятностей значительно упрощается, если для предварительного вычисления числа благоприятных исходов и общего числа исходов использовать формулы комбинаторики.  

Пример 1

Класс состоит из 16 человек, среди которых 4 девочки. Учитель наугад вызывает к доске троих учащихся. Какова вероятность того, что среди вызванных окажется одна девочка?

Решение

Пусть А – это событие, вероятность которого надо найти. Для определения числа всех элементарных исходов пронумеруем всех учащихся от 1 до 16. Тогда элементарным исходом можно считать:

 – множество.

Другими словами, необходимо подсчитать количество групп по 3 ученика, которые можно составить из 16 человек (порядок и расположение нам не важны).

То есть, общее число исходов равно:

Для нахождения числа исходов, благоприятных событию , считаем таким образом:

- выбрать 1 девочку можно из 4-х, которые есть в классе: ;

- также стоит помнить, что надо вызвать только одну девочку, то есть из 12 кандидатов можно выбрать:  способами;

- эти способы надо перемножить, и получим количество благоприятных исходов:

В итоге имеем:

 

Ответ: 

Определения

Давайте введем ряд дополнительных понятий. Сперва обобщим введенное в 9 классе понятие «несовместные события» на случай, когда их число больше 2-х:

Определение:

События  называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны.
Пример

Выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при однократном бросании игральной кости.

Определение

Множество событий образуют полную группу, если вследствие каждого испытания хотя бы одно из этих событий произойдет.

Пример

Те же 6 граней кубика.

Введем понятие суммы событий.

Определение

Суммой событий  и  называется событие , состоящее в наступлении при единичном испытании или события , или события , или обоих событий вместе.

Пример

Пусть событие  – стрелок попал в цель с первого выстрела.

Событие  – стрелок попал в цель со второго выстрела.

Тогда событие  – стрелок попал в цель хотя бы один раз.

Теорема сложения

Теорема сложения

Вероятность суммы 2-х несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема выполняется для суммы любого конечного числа попарно несовместных событий:

Пример

В урне находятся 4 черных, 7 красных, 9 зеленых и 11 синих шаров. Оттуда вынули 1 шар. Найти вероятность появления цветного шара (не черного).

Решение

Пусть  – появление цветного шара (все, кроме черных)

 – появление черного шара

 – появление красного шара

 – появление зеленого шара

 – появление синего шара

Тогда

По теореме сложения получим:

Ответ:

Следствие из теоремы сложения

Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна 1.

Пример 2

Появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при одном бросании игральной кости является совокупностью шести несовместных событий, образующих полную группу.

При этом 

Поэтому

Задание на доказательство

Используя теорему сложения вероятностей, докажите теорему о сумме вероятностей противоположных событий, рассмотренную в 9 классе и по этой ссылке: (Источник)

Вывод

На данном уроке были рассмотрены задачи, которые связаны с теорией вероятности, и их простейшее решение.

 

Список литературы

  1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа 11 класс. – М.: 2007.
  2. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, Алгебра 11 класс. – М.: 1998 г. – 271 с.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Nsportal.ru (Источник).
  2. Festival.1september.ru (Источник).
  3. Testsoch.com (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, Алгебра 11 класс. – М.: 1998. – 271 с; стр. 252, № 527–529
  2. На полке в магазине стоит 15 книг по математике, 25 по физике и 10 книг по химии. Все с одинаковыми на вид корешками. Покупатель наугад вытаскивает книгу. Какова вероятность, что это будет книга по математике? Книга не по математике?
  3. Из набора для игры в домино наугад вытаскивают одну костяшку. Какова вероятность того, что сумма чисел на ней равна 7?