Классы
Предметы

Сочетания и размещения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Сочетания и размещения

На данном уроке мы вспомним понятия размещения, перестановки и сочетания. Выясним, как вычислять количество вариантов в каждом случае, рассмотрим, как поступать при наличии одинаковых объектов. Также научимся видеть разницу между размещением и сочетанием и решим простейшие примеры.

Размещение

Задача

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами можно предсказать тройку призеров?

Решение

Данная задача решается способом произведения. На первое место можно выбрать 16 вариантов, на второе только 15 оставшихся, на третье, соответственно, 14. Итого:

Задачи подобного типа, где из  вариантов нужно выбрать , причем порядок их следования важен (в данном случае важно, кто займет первое место, кто второе, кто третье) называются размещением:

Задача

У девочки Ксюши есть 5 поклонников. Она хочет сходить вечером на два фильма, причем не с одним и тем же поклонником. Сколькими способами можно сделать выбор?

Решение

В данной задаче порядок важен. Поэтому используем формулу размещения:

С другой стороны, можно воспользоваться правилом произведения. На первый фильм есть пять вариантов, на второй 4, итого:

Перестановка

Рассмотрим частный случай размещения, когда из  элементов нужно выбрать все  элементов, порядок по-прежнему важен. Такой частный случай называется перестановкой:

Задача

Сколькими способами можно расставить класс из 30 человек в шеренгу?

Решение

В данном случае имеем частный случай размещения – перестановку. Так:


Уравнения в комбинаторике

Пример

Здесь очевидны некоторые ограничения:  – иначе не имеет смысла выражение , кроме того,

Остается решить обыкновенное квадратное уравнение: ; .

Второй корень не подходит исходя из ограничений.

Ответ: .

Размещение при наличии одинаковых объектов

Пример

Сколько существует способов переставить буквы в слове стол? В слове каша?

Решение

Очевидно, что в первом случае это число перестановок: .

Во втором же случае следует обратить внимание на то, что некоторые буквы совпадают. Для решения поставим буквам  индексы 1 и 2 – теперь это разные буквы  и .

Теперь ответ такой же, как и в первом случае –

Теперь отметим, что каждой перестановке слова  соответствует такая же перестановка, где буквы  стоят наоборот: .

Так, ответ на поставленный вопрос: .


Интересно знать!

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове молоко.

Решение

По аналогии пронумеруем буквы , тогда количество перестановок

Теперь проанализируем. Для каждого варианта перестановки существует ряд вариантов, которые отличаются только индексам букв . найдем количество этих вариантов. Очевидно, что это число перестановок

Так, ответ в задаче: 

 

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове математика.

Решение

Здесь повторяются три комплекта букв. Решим задачу в три этапа. Сначала по аналогии с предыдущими случаями нумеруем все повторяющиеся буквы – отдельно буквы , отдельно , отдельно : .

В этом слове количество перестановок

Теперь разберемся с буквами . для каждого варианта перестановки есть такой же, который отличается индексами букв . тогда искомое количество перестановок уменьшится в два раза: .

Аналогично для букв .

Для букв  количество вариантов уменьшится в  раз.

Итого: 

Сочетание

Пример

В поход пошло 4 человека. Сколькими способами можно выбрать пару дежурных, которые утром приготовят завтрак?

Решение

При первом взгляде на задачу кажется, что ответом будет количество размещений .

Обратим внимание, что порядок в данном случае не важен, то есть пара дежурных Вася и Петя или пара Петя и Вася – это одна и та же пара, два варианта превращаются в один, поэтому искомое количество вариантов:

Задачи такого типа, где порядок не важен, называются задачами о сочетаниях – в них требуется выбрать группу объектов, порядок которых не важен.

Определение

Сочетанием из  элементов по  называется любой выбор из  элементов  элементов, при этом порядок выбора не важен. Иногда сочетание называют выборкой. Число сочетаний вычисляется по формуле:

Очень важно понимать, когда порядок важен, а когда нет. В примере про дежурных порядок не важен, но если немного поменять условие: выбрать дежурных так, чтобы один отвечал за костер, а второй за мытье посуды – то порядок уже будет важен.

Решение примеров

Пример

В команде 11 человек, нужно выбрать капитана и вице-капитана. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Очевидно, что в данном случае порядок важен, поэтому ответом будет размещение: .

Пример

В команде из 11 человек нужно выбрать пару защитников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь порядок не важен – в паре защитников не имеет значения, кто первый, а кто второй, поэтому здесь ответом будет число сочетаний: .

Пример

Сколько способов существует составить трехцветный полосатый флаг (полосы горизонтальные), если есть 6 полос различных цветов?

Решение

В данном случае порядок важен, так как, например, выбрав белый, синий и красный, в зависимости от порядка можем получить флаг России или флаг Сербии. Поэтому здесь имеем число размещений: .

Пример

Сколькими способами учитель может выбрать две задачи из 20 для контрольной работы?

Решение

Здесь порядок не важен, не важно какая задача будет первой, а какая второй, поэтому ответ – число сочетаний: .

Вывод

Итак, мы вспомнили понятия перестановки, размещения, сочетания, формулы для вычислений и определения, а также решили несколько примеров.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Единая коллекция ЦОР (Источник)

2. Интернет-сайт hijos.ru (Источник)

3. Интернет-сайт 100formul.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из четырех карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

3.  В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

5. В шахматном турнире участвует  человек и каждый с каждым играет по 1 партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?