Классы
Предметы

Формула Ньютона-Лейбница. Примеры

На данном уроке мы повторим формулу Ньютона-Лейбница и будем использовать ее для решения конкретных задач.

1. Напоминание об основном определении первообразной и неопределенного интеграла

Напомним основное определение:

,

Примеры:

Если .

Множество всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции :

2. Пример на вычисление неопределенного интеграла

Пример:

Найти:

Решение:

Проверка:

Ответ: .

3. Задача о площади криволинейной трапеции ABCD и определенный интеграл

Вспомним, как мы находили площадь криволинейной трапеции.

Мы разбивали отрезок AD на равных частей, вычисляли площадь каждого обозначенного прямоугольника и получали примерный результат (Рис. 1):

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

Определение:

Значит:

На предыдущем уроке мы узнали, как находить площадь  и определенный интеграл.

4. Напоминание о нахождении площади криволинейной трапеции через определенный интеграл

Напомним, как мы нашли площадь криволинейной трапеции (Рис. 2).

Ввели функцию

Доказали, что ; , где  – первообразная для .

Рис. 2. Нахождение площади криволинейной трапеции

5. Напоминание о формуле Ньютона-Лейбница

Далее мы получили формулу Ньютона-Лейбница.

Рис. 3. Получение формулы Ньютона-Лейбница

;

Рис. 4. Получение формулы Ньютона-Лейбница

Отсюда следовала формула Ньютона-Лейбница: 

,

 

6. Примеры на вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенные интегралы. Примеры:

Ответ: .

Пояснение:

 

Ответ: .

Пояснение:

Ответ: .

Пояснение:

 

Ответ: .

Пояснение:

 

Ответ: .

Пояснение:

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Bymath.net (Источник).
  2. Math10.com (Источник).
  3. Ru.wikiversity.org (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Докажите, что равенство верно: .
  2. Докажите, что равенство верно: .
  3. Вычислите интеграл:
  4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1039–1040