Классы
Предметы

Задачи на вычисление площадей плоских фигур

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Задачи на вычисление площадей плоских фигур

На данном уроке мы будем решать задачи на вычисление площадей плоских фигур. Поскольку для решения подобных задач на площадь необходима работа с определёнными интегралами, то мы попутно отработаем навыки работы с этим видов интегралов.

1. Повторение основных правил вычисления площадей плоских фигур

Повторение

Повторение начнем с основного определения. Что такое первообразная?

1. Определение. Функцию называют первообразной для функции  на заданном промежутке , если для всех  из  выполняется равенство .

Пример. Мы умеем дифференцировать функцию .

Значит, 

2. Основная задача интегрального исчисления:

Найти , зная  – скорость ее изменения.

3. Если  – одно из решений задачи, то  – множество всех ее решений.

 . Все это множество называется неопределенным интегралом.

Итак, нахождение первообразной – это восстановление функции по ее скорости.

Если физический прибор дает скорость, а мы находимся на борту или в автобусе, или в автомобиле и умеем интегрировать, то мы найдем путь. Если прибор дает ускорение, а мы умеем интегрировать, то мы найдем скорость. А если мы скорость проинтегрируем, мы получим расстояние. Если проинтегрировать по 3-м осям, то мы можем знать месторасположение летательного аппарата в каждый момент времени.

4. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  и тремя прямыми. Рис. 1.

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  и тремя прямыми

Вспомним, как мы искали площадь:

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчатой ломаной, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

этот предел назвали определенным интегралом и обозначили его .

Таким образом, мы определили площадь, но еще находить ее численно не умели.

Как же мы численно смогли найти площадь криволинейной трапеции?

Рис. 2. Функция S(x)

Ввели функцию . Рис. 2. Каждому площадь под соответствующей частью кривой .

Мы доказали, что производная этой же функции . Значит  – первообразная. И  – приращение первообразных на отрезке  То есть, можно взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке . И таким образом получить формулу .

Итак, нахождение площади криволинейной трапеции – важное применение первообразной.

5. Выпишем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Найти площадь  под кривой

. Рис. 3.

Площадь ищется следующим образом:

 

Рис. 3. Площадь  под кривой

Повторим: Нужно найти одну из первообразных и взять пределы от a до b,  – любая функция, важно, чтобы она была непрерывной

6. Далее с помощью первообразных мы научились находить площадь между двумя кривыми.

Постановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  Рис. 4.

 

Рис. 4. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь такой фигуры вычисляется следующим образом:

где  – одна из первообразных разности .

Таким образом, мы повторили опорные факты.

Перейдем к конкретным примерам и задачам на площадь. Вот первый из них:

2. Пример 1 - Задача вычислить площадь

Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

. Рис. 5.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В силу симметрии достаточно вычислить половину площади и удвоить ее. Так и поступим.

Искомая площадь:

Ответ:

3. Пример 2 - Задача вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Рис. 6. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Речь идет о заштрихованной площади. Поступаем, как раньше. Сначала надо найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения. Они легко находятся: это точки  Значит, пределы интегрирования найдены. Площадь:

Ответ:

Следующая задача на площадь аналогичная, но решим ее по-иному.

4. Пример 3

Пример 3.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Решение.

Сначала построим графики: рис. 7.

. График – парабола, ветви направлены вниз, корни . Вершина – .

График функции . Искомая площадь:

Рис. 7. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решим эту задачу следующим образом:

Сначала мы найдем площадь прямоугольника

Найдем площадь криволинейного треугольника

И вычтем площади. Получим искомую площадь.

Ответ:

Последнее действие

.

В следующей задаче имеем и кривую, и касательную к ней в точке.

5. Пример 4

Пример 4.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Параболой , касательной к ней в точке с абсциссой , осью ;

Решение.

Итак, три линии образуют искомую площадь.

Первая линия, это известно.

Вторая – касательная в точке с абсциссой . Чтобы не отвлекаться от данной темы, мы воспользуемся данными предыдущих уроков, какая касательная была нами найдена .

Следующая прямая – ось . Получаем такую фигуру: рис. 8.

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой , касательной к ней в точке с абсциссой , осью

Находим ее площадь:

Пределы интегрирования: .

Ответ: .

Постановка следующей задачи нам уже известна.

6. Пример 5

Пример 5.

Найти массу  неоднородного стержня , если плотностьsinx + 1. .

Решение.

Стержень помещен в координатной плоскости, как показано на рисунке:

Рис. 9. Стержень в координатной плоскости

В каждой точке плотность известна и меняется по законуsinx + 1. Чтобы найти массу, знаем, что надо найти площадь под этой плотностью. Площадь мы искать умеем:

 

Ответ:

Следующая задача о движении точки по прямой.

7. Пример 6

Пример 6.

Найдите перемещение  точки, если скорость меняется по закону . Рис. 10.

Решение.

Оси координат t,v:

Рис. 10. Перемещение  точки

Нам нужно найти перемещение, значит, площадь под скоростью. Здесь задача настолько простая, что можно обойтись без интеграла.

Сделаем двумя способами:

С помощью интеграла:

Эту площадь можно найти как площадь прямоугольного треугольника:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели задачи на вычисление площадей плоских фигур, далее перейдем к изучению корней и степеней.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mathprofi.ru (Источник).
  2. Dok.opredelim.com (Источник).
  3. School.xvatit.com (Источник). 

 

Домашнее задание (задачи на площадь)

  1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции  касательной к графику этой функции в точке  и осью ординат.
  2. Вычислите массу участка стержня от  , если его линейная плотность задается формулой
  3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1018, 1026, 1027, 1038.