Классы
Предметы

Число e. Функция y=e^x, ее свойства, график, дифференцирование

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Число e. Функция y=e^x, ее свойства, график, дифференцирование

На данном уроке мы определим число е. Выясним свойства функции 〖y= e〗^x, построим график, и научимся ее дифференцировать. Также разберем несколько примеров классических задач, в которых используется число е.

Повторение основных свойств функции y=e^x,

Напомним, что показательной называется функция вида . График выглядит так:

Рис. 1. График показательной функции

График функции возрастает, если ; если основание  лежит в пределах то функция убывает.

Вспомним основные свойства.

1.      . может принимать любые действительные значения;

2.       может принимать любые положительные значения;

3.       Графики всех функций при любом значении  проходят через эту точку;

4.      Функция возрастает, если ;

5.      Функция убывает, если .

Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы ее основные свойства.

Определение числа e

Число

Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием

Вот график функции :

Рис. 2. График функции

Вот график функции :

Рис. 3. График функции

В точке , если проведем касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси примерно на (меньше ).

Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на (больше ).

Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями  такое число , что график  имеет касательную в точке , которая наклонена к оси ровно на .

Рис. 4. Касательная к графику функции

Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше . И, оказывается, есть такое число , что касательная в точке  наклонена к оси  под углом ровно  Это число , во-первых, расположено  и, во-вторых, иррационально. Вот выписано несколько десятичных знаков этого числа: . Таким образом, мы ввели очень важное число

Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием

 

Свойства функции y=e

График функции выглядит так:

Рис. 5. График функции

Свойства аналогичны свойствам функции с основанием:

;

Функция возрастает;

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;

Не существует ни наибольшего  ни наименьшего  значений;

Функция непрерывна;

Принимает все значения, когда ;

Функция выпукла вниз;

Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.

Таковы свойства данной функции.

Производная функции

Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?

Мы говорили, что функция  дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что производная в точке Доказан важный факт:

 При любом действительном значении  То есть отсюда видна особенность числа . Производная, то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.

Некоторые типовые задачи

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции

Пример 1.

Дано:

Найти: Производную

Решение.

Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.

Ответ:=

Пример 2.

Дано:

Найти: Производную

Решение.

По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.

Ответ:=

Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.

Задача на касательную

Следующая стандартная задача на касательную.

Пример 3.

Дано:, абсцисса точки касания;

Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в .

Решение.

Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику ее построения:

Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?

Найти координаты точки касания:

Итак, точка с координатами – это точка касания (рис. 6).

Рис. 6. Точка касания

Найти производную в любой точке

Найти конкретное значение производной в точке :

У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.

Заполняем, получаем:

Ответ:

Небольшой анализ:

Тангенс угла наклона

 

Ордината пересечения точки с осью :

Задача решена.

Задача на нахождение наименьшего значения функции

Пример 4.

Найти наименьшее значение функции.

Решение.

Имеем производную произведения:

Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что , так как по свойству показательной функции всегда больше нуля.

Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).

Рис. 7. Критическая точка

Если , то и функция убывает. Если , то .

Мы уже говорили, что  – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:

Рис. 8. Точка наименьшего значения функции

И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке . Рис. 8.

Ответ:

Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием . На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием .

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Schoolife.ru (Источник).
  3. Terver.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найти производные функция в указанных точках:

а) ;

б) .

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а) ;

б) .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.