Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения

Данный урок посвящен показательной функции. Мы введем определение, покажем необходимость и актуальность данной функции. Далее охарактеризуем ее свойства и поведение в общем и частных случаях, построим графики и сравним их.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Показательная функция и логарифм» и «Функции»

Понятие показательной функции

Ранее мы изучали различные функции. Например, линейная функция  описывает прямолинейное движение. Квадратичная функция  описывает равноускоренное движение.

Теперь рассмотрим новую функцию, показательную – в ней основание степени постоянное число, а показатель изменяется: ; ; .

Пример

Масса  радиоактивного вещества в момент времени  равна:

где  – начальная масса образца;  – период полураспада.

Здесь мы видим, что основание степени постоянная величина, а показатель – переменная.

 

Скорость роста показательной функции иллюстрируется примерами с шахматами.


Мы изучаем показательную функцию , , , ее график называется экспонентой (рис. 1):

Рис. 1. Экспонента

Построить конкретную экспоненту, например  по точкам достаточно сложно, так как даже при  значение функции уже очень велико и элементарно не хватает листа бумаги, а при  значения слишком малы и график почти сливается с осью , очевидно, что с ростом аргумента данная функция резко возрастает, а с уменьшением – стремительно приближается к нулю, но не достигает его.

Так, при стремлении аргумента к бесконечности растет не только функция, но и скорость ее роста.

Задача о зернах на шахматной доске

По легенде мудрый изобретатель шахмат попросил у правителя награду: положить на первую клетку 1 зерно пшеницы, на вторую 2 зерна, то есть в два раза больше, на третью 4 и так далее, соответственно, на последнюю . Сколько зерна попросил мудрец?

Решение

Данное выражение вычислить затруднительно. Даже число , что уже является очень большим числом.

То есть если собрать зерна с первых 19 клеток, получится примерно один миллион зерен, что примерно помещается в литровом пакете от молока.

Но уже начиная со второй половины доски рост числа зерен столь стремителен, что их общее количество трудно представить.

Формально количество требуемых зерен есть геометрическая прогрессия:

; ;

Найдем ее сумму:

Такое число зерен просто огромно. Подсчитано, что это количество зерен превышает в 1800 раз мировой урожай пшеницы за 2008–2009 аграрный год, а он составил 686 млн тонн пшеницы.

Ответ: .

Можно представить, сколь малым является число .

Определение. Показательная функция с целым показателем

Определение

Показательной называется функция вида , ; .

 

Основание показательной функции существенно влияет на ее график.

Рассмотрим семейство экспонент , ; .

Все экспоненты проходят через точку , так как  для любого :

Рис. 2. Фиксированная точка всех экспонент

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция возрастает, но скорость роста зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; . Составим таблицы и постоим графики (рис. 3).

Рис. 3. Графики функций ,

Так, при :  и при : .

 

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

 

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

 

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция убывает, но скорость зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; .

Отметим: ; ; .

Используем тот факт, что кривые  и  симметричны относительно оси :

Рис. 4. Графики функций ,

Так, чем меньше основание степени, тем быстрее рост функции, при стремлении  к минус бесконечности при отрицательных :

Если же  и стремится к плюс бесконечности, имеем:


 

Теперь рассмотрим область определения показательной функции. Для начала ограничимся множествами целых, а затем рациональных чисел.

Пример

,

Графиком будем множество точек вида .

Рис. 5. График функции ,

1. Данная функция монотонно возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Докажем этот факт. Обе части неравенства неотрицательны, разделим его на :

Получено истинное выражение, значит, и предположение было верным.

2. При  функция резко возрастает; при стремлении аргумента к минус бесконечности функция стремительно приближается к нулю, не достигая его.

3. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

4. Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

5. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

 

Пример

,

Графиком будем множество точек вида . График изображен на рисунке 6 синим цветом. Его можно получить по точкам, а можно отобразить график функции  относительно оси ординат.

Рис. 6. График функции ,

1. При возрастании аргумента от минус до плюс бесконечности функция убывает от бесконечности до нуля, но нуля не достигает.

2. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

3. Отметим, что функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

4. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Показательная функция с рациональным показателем

Пример

,

Найти значение функции при .

Решение

Переведем периодичную дробь в обыкновенную.

Вычтем из второго выражения первое:

Требуется вычислить: .

 

Так, мы можем вычислить значение показательной функции для любого рационального числа. Графиком функции ,  будет множество точек вида , но эти точки так близко расположены, что нарисовать такой график невозможно.

Свойства данной функции аналогичны свойствам той же функции, когда аргумент принимал целочисленные значения.

Показательная функция с действительным показателем

Теперь рассмотрим функцию , .

Вспомним, что  – это такое иррациональное число, квадрат которого равен трем. Его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Число  можно приближать меньшими рациональными числами следующим образом: ; ; ;

Для каждого из этих приближений мы можем вычислить значение функции .

Доказана сходимость первой последовательности к некоторому пределу, этот предел обозначили за . Вторая последовательность тоже сходится к некоторому пределу, обозначенному .

Так, аналогичным образом можно определить функцию  для любого действительного числа.

Свойства степени с рациональным показателем

Важно учитывать: ; .

 

Рассмотрим функцию , ; ,

Графики (рис. 7):

Рис. 7. Графики функций , ; ,

,

,

1. Когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля до плюс бесконечности. Так:

область определения ;

область значений .

2. Не имеет наибольшего и наименьшего значений.

3. Не ограничена сверху; ограничена снизу нулем.

4. Выпукла вниз.

5. Монотонно возрастает на всей ОДЗ.

1. Когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от плюс бесконечности до нуля. Так:

область определения

область значений .

2. Не имеет наибольшего и наименьшего значений.

3. Не ограничена сверху; ограничена снизу нулем.

4. Выпукла вниз.

5. Монотонно убывает на всей ОДЗ.

Рассмотрим показательную функцию в общем виде , ,  при  и .

В первом случае график и свойства схожи с функцией , во втором – с функцией .

Вывод

Итак, мы познакомились с показательной функцией, рассмотрели график и свойства в общем и частных случаях.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт 1cov-edu.ru/ (Источник)

2. Интернет-сайт formula-xyz.ru (Источник)

3. Интернет-сайт uztest.ru (Источник)

 

Домашнее задание

Построить графики функций и описать их свойства:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; ;