Классы
Предметы

Показательные уравнения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Показательные уравнения

На данном уроке мы рассмотрим решение наиболее часто встречающихся типов показательных уравнений.

1. Определение и свойства показательной функции

Как правило, все типы показательных уравнений сводятся к простейшим показательным уравнениям.

Напомним основные свойства показательной функции.

Показательная функция – это функция вида , где  и

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны кривые, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при  возрастает, при  убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

2. Методика решения простейших показательных уравнений, пример

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Например:

3. Решение типовых показательных уравнений

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратному:

Уравняем основания степеней в правой и левой части:

Получаем квадратное уравнение:

Следующий тип уравнений, когда показатели степени одинаковые, а основания разные:

Необходимо уравнять основания степени. Разделим обе части уравнения на , имеем право это сделать т. к.  всегда больше нуля:

Иллюстрация:

На рисунке 2 красным показан график функции , черным – график функции , очевидно, что графики пересекаются в единственной точке при .

Рассмотрим следующий тип уравнений на примере.

 (уравнение 3)

Представим второе слагаемое в левой части как произведение степеней:

Приведем подобные в левой части:

Рис. 2. Иллюстрация к уравнению с одинаковыми основаниями степени

Оформить решение уравнения 3 можно иначе.

Вынесем в левой части  за скобки:

Еще один тип показательных уравнений:

Воспользуемся свойствами степеней для преобразования левой части:

Складываем алгебраически полученные дроби:

Знаменатель данной дроби никогда не равен нулю, числитель приравниваем к нулю:

Данное уравнение можно было решать иначе, для этого нужно было заметить, что в показателе степени второго слагаемого можно вынести двойку за скобки и получить уравнение с одинаковыми показателями степеней.

Уравнения, где перемножаются две степени с одинаковым показателем.

Воспользуемся свойством степени:

Итак, мы рассмотрели решение типовых показательных уравнений. На следующем уроке мы перейдем к решению более сложных показательных уравнений.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mathematics-repetition.com (Источник).
  2. Terver.ru (Источник).
  3. Yourtutor.info (Источник).

 

Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 463, 464, 470

2.      Решить уравнение:

3.      Решить уравнение: