Классы
Предметы

Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного

На данном уроке мы рассмотрим два важных свойства логарифмов, а именно, логарифм произведения и частного двух положительных выражений. Мы выведем соответствующие формулы и будем применять их для решения задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Показательная функция и логарифм»

1. Некоторые теоретические сведения

Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию . В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: . Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение  имеет единственный корень, который и называется логарифмом:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:

То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.

Рассмотрим конкретный пример: .

Рис. 1. График уравнения

По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.

Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:

.

Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.

2. Логарифм произведения, формула, примеры

Теорема 1:

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Здесь

Доказательство:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.

Пример 1 – вычислить:

а)

Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:

б)

Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:

Комментарий: в ходе решения была применена формула

3. Логарифм произведения трех положительных чисел

Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.

Доказать:

Здесь

Доказательство:

Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:

Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к следующей формуле.

Дано:

Доказать:

Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:

Тогда:

Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:

По определению логарифма имеем:

Что и требовалось доказать.

Пример 2 – вычислить:

а)

4. Логарифм частного, формула, примеры

Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:

б)

Аналогично предыдущему примеру:

Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного. Далее мы продолжим изучение свойств логарифма.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Webmath.ru (Источник).
  2. Berdov.com (Источник).
  3. Ru.onlinemschool.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 506;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) .