Классы
Предметы

Функция

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Функция

На данном уроке мы рассмотрим определение функции и некоторые ее свойства. Также вспомним применение метода интервалов для решения неравенств.

Понятие функции, основные определения

Нам известно, что между всеми точками координатной прямой и всеми действительными числами существует взаимооднозначное соответствие. Понятие функции рассматривается именно на множестве действительных чисел.

Рассмотрим пример: поход из дома в школу и возвращение после этого домой. Процесс дом → школа → дом (см. рисунок 1). Ось  соответствует времени, на оси  мы будем откладывать расстояние. Представим примерный график рассматриваемого процесса – рисунок 1.

Общим для всех подобных процессов является то, что в конкретный момент времени  мы находимся на конкретном расстоянии от дома , причем на единственном – то есть в один момент времени мы находимся в одном конкретном месте – не можем находиться в двух местах одновременно. Единственность от аргумента к функции является очень важным моментом в определении функции.

Рис. 1. График процесса

Определение

Закон , , по которому каждому значению независимой переменной (аргументу)  ставится в соответствие единственное значение  называется функцией.

В рассматриваемом примере (рис. 1) аргумент меняется от нуля до :  – область определения функции. Функция изменяется от нуля до  – область значений функции: .

Все явления, встречающиеся в природе, науке, технике и т. д., таковы, что каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим изменение температуры от лета к зиме и снова к лету (см. рисунок 2):

Рис. 2. График изменения температуры

Мы наблюдаем некоторую периодичность. Вспомним, что с периодичными функциями мы уже встречались. Например, тригонометрические функции.

Кроме того, к свойствам функции относится непрерывность и интервалы знакопостоянства, интервалы возрастания и убывания.

Непрерывность функции: если есть такая точка , в которой значение функции положительно – температура положительна, то найдется такая  окрестность данной точки, в которой функция всё еще будет положительна

,

Чтобы стать отрицательной функция, в данном случае температура должна пройти через ноль. То есть должен появиться корень функции – такое значение, при подстановке которого в функцию она обращается в ноль.

Поведение функции в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ

Изучим поведение непрерывной функции в окрестности корня.

А)

Рис. 3. Поведение функции в окрестности корня

 – корень функции, по определению функция в этой точке равна нулю. Слева от корня функция была отрицательна, справа от корня стала положительна (см. рисунок 3). Функция возрастает.

Б)  

 

Рис. 4. Поведение функции в окрестности корня

Слева от корня функция была положительна, справа от корня стала отрицательна (см. рисунок 4). Функция убывает.

В)

Рис. 5. Поведение функции в окрестности корня

Слева от корня функция была положительна, дошла до нуля и снова справа положительна (см. рисунок 5). Здесь в корне точка минимума.

Г)

 

Рис. 6. Поведение функции в окрестности корня

Слева от корня функция была отрицательна, дошла до нуля и снова справа отрицательна (см. рисунок 6). Здесь в корне точка максимума.

Изучим поведение функции в окрестностях корня знаменателя:

А) ;  – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция положительна, при отрицательном – отрицательна – см. рисунок 7

Рис.7. Гипербола

Б) ;  – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция отрицательна, при отрицательном – положительна – см. рисунок 8

Рис. 8. Гипербола

В) ;  – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс бесконечность. При любом значении аргумента функция положительна – см. рисунок 9

Рис.9. График функции 

Г) ;  – корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в минус бесконечность. При любом значении аргумента функция отрицательна см. рисунок 10

Рис. 10. График функции 

Интервалы знакопостоянства

Так, непрерывная функция может поменять знак или в корне функции, или в корне знаменателя – то есть в точке разрыва области определения.

Пример

Рассмотрим функцию:

корни функции: , ;

корни знаменателя: , .

Имеем интервалы знакопостоянства функции: ; ; ; ; . Внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Поскольку в точке  знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью , функция убывает. В точке  наоборот, функция возрастает (см. рисунок 11).

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак.

Рис. 11. Эскиз графика функции

Рассмотрим интервалы знакопостоянства каждого множителя, составляющего функцию, и всей функции:

Так, непрерывная в ОДЗ функция имеет интервалы знакопостоянства.

Решение неравенства методом интервалов

Пример

Решить неравенство методом интервалов:

Шаг 1: вводим функцию, которая стоит в левой части, если справа ноль:

шаг 2: определяем интервалы знакопостоянства и знак функции на каждом интервале.

ОДЗ: , .

Корни: , .

Интервалы знакопостоянства, знаки определены (функция была рассмотрена в предыдущем примере) – см. рисунок 12

Рис. 12. Интервалы знакопостоянства

Шаг 3: вернемся к неравенству, нас интересуют значения, меньшие либо равные нулю.

Ответ:.

Вывод

Итак, мы рассмотрели определение функции и метод интервалов при решении неравенств. На следующем уроке рассмотрим построение эскиза графика функции.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математический форум Math Help Planet (Источник)

2. Интернет-сайт gimn7matem.narod.ru (Источник)

3. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)

 

Домашнее задание

Задание 1: указать интервалы знакопостоянства функций и знаки на каждом интервале:

А) 

Б) 

В) 

Задание 2: построить в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ графики функций:

А) 

Б) 

В)