Классы
Предметы

Функция y = cos t, число arccos a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Функция y = cos t, число arccos a

На данном уроке мы рассмотрим функцию , способ нахождения значения выражения  и его использование в тригонометрических уравнениях.

Функция y=cost, ее свойства

Pассмотрим, каким же образом значению  поставить в соответствие значение . Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное: .

Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка , от нее откладываем против часовой стрелки значение . Получаем дугу . Значение  откладываем против часовой стрелки и получаем точку  и дугу . Итак, если задано конкретное число , то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом – ; вторую координату назвали синусом – . Итак, имеем:

.

Рис. 1. Единичная окружность

Таким образом, каждому значению  ставится в соответствие единственным образом число , то есть задана функция .

Рассмотрим основные свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Наименьший положительный период функции: . Это дает нам следующее следствие:  для любого ;

4. Функция четная: .

Отметим, что каждому значению  соответствует единственная точка М на окружности: . При этом каждой точке М соответствует множество значений  таких, что: .

График функции y=cost, графическое решение простейших уравнений

Рассмотрим график функции  (рисунок 2).

Рис. 2. График функции

График функции сначала убывает от единицы до минус единицы на промежутке , потом возрастает до единицы на промежутке  и снова убывает до минус единицы и так далее.

Решим уравнение:

.

Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так,  и т. д.

Запишем множество решений:

.

Функция y=cost на интервале [0:π], важнейшие значения функции

Рассмотрим график функции .

На данном промежутке функция монотонно убывает от единицы до минус единицы и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Рис. 3. График функции

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арккосинусом и является решением обратной задачи.

Понятие арккосинуса, определение арккосинуса по тригонометрической окружности

Определение

Арккосинусом числа  называется такое число , лежащее в пределах от нуля до пи, косинус которого равен :

.

Свойство арккосинуса: ; .

Например: (ищем на оси ординат точку , проводим к графику перпендикуляр, находим точку пересечения и определяем значение угла); по свойству:

.

Теперь напомним, как можно находить значения арккосинусов с помощью тригонометрической окружности (рис. 4).

Рис. 4. Определение арксинуса по тригонометрической окружности

Например, чтобы найти  ищем значение  на оси  и находим соответствующую ему точку на окружности: . Аналогично, .

Арккосинусы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Решение простейшего тригонометрического уравнения

Пример 1 – решить уравнение:

.

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 5).

Ось  соответствует линии косинусов, на ней выбираем число , строим перпендикуляр и получаем две точки на единичной окружности – . Имеем множества значений , которые проектируются в точку . чтобы найти эти множества, вспомним, что арккосинус лежит в пределах . Так,

.

Полученные множества можно объединить в одно:

.

Рис. 5. Решение примера

Частные случаи уравнений с косинусом

Рассмотрим важные частные случаи.

1. 

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением ноль проходит по оси  и данное значение достигается в двух семействах точек:  и . (рис. 6). Так, имеем общее решение:

.

Рис. 6. Частный случай простейшего уравнения с синусом

2.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением единица проходит в правой точке окружности и данное значение достигается в семействе точек . (рис. 7). Так, имеем решение:

Рис. 7. Частный случай простейшего уравнения с синусом

3.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии косинусов со значением минус единица проходит в левой точке окружности и данное значение достигается в семействе точек . (рис. 8). Так, имеем решение:

.

Рис. 8. Частный случай простейшего уравнения с синусом

Итак, мы рассмотрели функцию  и число , решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функцию  и число .

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

  1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
  2. Построить график функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  2. Интернет репетитор (Источник).
  3. Старая школа (Источник).