Классы
Предметы

Функция y = tg t, число arctg a

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Функция y = tg t, число arctg a

На данном уроке мы рассмотрим функцию , способ нахождения значения выражения  и его использование в тригонометрических уравнениях.

Функция у=tgt, ее свойства

Сначала напомним, каким образом получается функция , то есть напомним тот закон, согласно которому каждому допустимому  ставится в соответствие единственное значение .

Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное: .

Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка , от нее откладываем против часовой стрелки значение . Получаем дугу . Итак, если задано конкретное число , то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом – ; вторую координату назвали синусом – . Итак, имеем:

.

Отношение этих двух координат и есть тангенс:

Рис. 1. Единичная окружность

Таким образом, каждому значению  ставится в соответствие единственным образом число , то есть задана функция .

График функции у=tgt, графическое решение простейших уравнений

Рассмотрим основные свойства функции (рис. 2).

1. Область определения: тангенс – это дробь, значит, необходимо ввести ограничение на знаменатель: .

2. Область значений: .

Проиллюстрируем.

Из подобия треугольников ∆OMN и ∆ОВА мы констатируем, что точка В численно равна тангенсу . То есть ордината точки пересечения касательной к единичной окружности в точке А и прямой ОМ есть . Значит, ось тангенсов длится от минус до плюс бесконечности для любых углов, для прямого угла мы имеем параллельные прямые и тангенс не существует.

Рис. 2. Свойства функции

3. Наименьший положительный период функции: . Это дает нам следующее следствие:  для любого допустимого .

4. Функция нечетная: .

Функция у=tgt  на интервале [-π/2;  π/2, важнейшие значения функции]

Рассмотрим график функции  (рисунок 3).

График функции возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности на промежутке , и так на каждом периоде.

Решим уравнение:

.

Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Рис. 3. График функции

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так,  и т. д.

Запишем множество решений:

.

Рассмотрим график функции .

На данном промежутке функция монотонно возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Рис. 4. График функции

Чтобы легче было запомнить значение тангенсов, можно вспомнить, что тангенс – это отношение катетов прямоугольного треугольника. Так, при угле  оба острых угла прямоугольного треугольника равны, треугольник равнобедренный и имеет равные катеты, значит, их отношение равно единице.

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арктангенсом и является решением обратной задачи.

Понятие арктангенса, определение арктангенса по тригонометрической окружности

Определение

Арктангенсом числа  называется такое число , лежащее в пределах от минус пи пополам до пи пополам, тангенс которого равен :

.

Свойство арктангенса: .

Например: (ищем на оси ординат точку , проводим к графику перпендикуляр, находим точку пересечения и определяем значение угла); по свойству: .

Теперь напомним, как можно находить значения арктангенсов с помощью тригонометрической окружности и линии тангенсов (рис. 5).

Рис. 5. Определение арктангенса по тригонометрической окружности

Например, чтобы найти  ищем значение  на оси тангенсов и находим соответствующую ему точку на окружности: . Аналогично

Арктангенсы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений

Пример 1 – решить уравнение:

.

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с тангенсом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 6).

На оси тангенсов выбираем число , строим угол и получаем две точки на единичной окружности: . Имеем множества значений , которые проектируются в точку . Чтобы найти эти множества, вспомним, что арктангенс лежит в пределах . Так,

.

Полученные множества можно объединить в одно:

.

Рис. 6. Решение примера

Пример 2 – решить уравнение:

.

Очевидна замена переменных:

.

Имеем:

.

Приведем к общему знаменателю:

.

Дробь равна нулю тогда, когда числитель ее равен нулю и знаменатель при этом не равен нулю:

.

Находим корни квадратного уравнения любым способом, получаем:

.

Вернемся к исходным переменным:

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели функцию  и число , решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функцию  и число .

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

  1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
  2. Построить график функции:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  2. Интернет репетитор (Источник).
  3. ЕГЭ сдам (Источник).