Классы
Предметы

Исследование функций

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Исследование функций

На данном уроке мы рассмотрим исследование функций с помощью производной, приведем примеры

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Производная и интеграл»

Тема: Повторение

Урок: Исследование функций

1. Определение и смысл производной

Напомним определение и смысл производной. Для этого рассмотрим функцию  и ее график, дадим физическую интерпретацию.

По оси  откладываем время, по оси  – расстояние. Функция  – закон изменения расстояния в зависимости от времени.

Физический смысл производной

Рис. 1. Физический смысл производной

В момент  расстояние равно . Через время  в момент времени  расстояние равно . За время  расстояние изменилось на . Отношение  к  – это средняя скорость за время :

Предположим, что  стремится к нулю. Тогда  тоже стремится к нулю, и секущая АВ стремится занять положение касательной (рисунок 15.2).

Вернемся к отношению . Если оно стремится к какому-то конкретному числу, то это число и называется производной функции в точке :

Более строго производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Секущая и касательная к графику функции

Рис. 2. Секущая и касательная к графику функции

Физический смысл производной: производная – это мгновенная скорость в момент .

Геометрический смысл: производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

2. Исследование функции, пример 1 

Пример 1: исследовать функцию:

Сначала исследуем функцию, не применяя производную.

ОДЗ:

Корни: чтобы найти корни функции, необходимо выражение приравнять к нулю:

Так, имеем дробь, равную нулю, то есть числитель равен нулю. Имеем единственный корень: .

Имеем два интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, в корне знак меняется, и на левом интервале функция отрицательна.

Опишем эскиз графика в окрестностях корней. Имеем: поскольку в точке  знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.

Теперь опишем эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится в данном случае к минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Так, если х стремится к бесконечности с минусом, у стремится к нулю с минусом, если х стремится к бесконечности с плюсом, у стремится к нулю с плюсом.

Уточним поведение функции с помощью производной.

Приравниваем числитель производной к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем: . Имеем два корня производной:

Так, когда  производная отрицательна, функция убывает. Когда  производная положительна, функция возрастает. Когда  производная отрицательна, функция убывает. Точка  – критическая точка, точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Имеем: . Точка  – критическая точка, точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Имеем: .

Вычислим также значение функции в нуле:

Проиллюстрируем:

Решение примера 1

Рис. 3. Решение примера 1

Ответ: функция возрастает на отрезке , функция убывает на лучах  и . Точка минимума . Точка максимума .

3. Исследование функции, пример 2  

Пример 2: построить график функции:

Действуем по стандартной методике. Сначала исследуем функцию и строим эскиз графика, не применяя производную.

ОДЗ:

Корни: чтобы найти корни функции, необходимо выражение приравнять к нулю – имеем произведение, равное нулю: . Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, т. е. соблюдена ОДЗ. Имеем: , оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Заданная функция всегда положительна, так как оба сомножителя принимают только неотрицательные значения.

Строим эскиз графика в окрестностях корней. Имеем: поскольку в точке  знак функции не меняется, функция всегда положительна, то кривая сначала находится над осью, потом касается оси и далее расположена снова над осью х. Справа от точки  функция имеет знак плюс, кривая расположена над осью и обрывается при .

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится в данном случае к минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Так, если х стремится к бесконечности с плюсом, у тоже стремится к бесконечности с плюсом.

Уточним поведение функции с помощью производной.

Приравниваем производную к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем: . Так, когда  производная положительна, функция возрастает. Когда  производная отрицательна, функция убывает. Когда  производная положительна, функция возрастает. Точка  – критическая точка, точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Точка  – критическая точка, точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Имеем: ;

Проиллюстрируем:

График функции

Рис. 4. График функции

Отметим, что в точке  производная функции не существует, значит, касательная к графику – вертикальная прямая.

Итак, мы рассмотрели исследование функций при помощи производных, следующий урок будет посвящен касательной.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Terver.ru (Источник).
  2. ЕГЭ по математике (Источник).
  3. Институт менеджмента (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Исследовать функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;