Классы
Предметы

Касательная

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Касательная

На данном уроке мы вспомним уравнение касательной и рассмотрим типовые задачи.

Тема: Повторение

Урок: Касательная

1. Повторение уравнения касательной и её элементов

Напомним уравнение касательной. Для этого рассмотрим график. Имеем кривую ,  – абсцисса точки касания,  – ордината точки касания, угол наклона α.

Угол наклона – угол между прямой и положительным направлением оси X в верхней полуплоскости.

График касательной

Рис. 1. График касательной

Само уравнение касательной имеет вид:

Это уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой

Основными элементами касательной являются:

1.  – точка касания

2.  – тангенс угла наклона касательной

3.  – точка на касательной

2. Методика нахождения касательной, пример 1 

Пример 1: найти уравнение касательной, площадь треугольника между касательной и осями координат.


Геометрическая интерпритация примера 1

Рис. 2. Геометрическая интерпритация примера 1

Для начала выписываем уравнение касательной.

Первым действием найдем точку касания.

 задано условием, подставляем его в нашу функцию, получаем 9. Таким образом, мы нашли точку касания.

Находим производную в любой точке x.

Найдем производную в конкретной точке .

Выписываем и анализируем уравнение касательной.

Получаем ответ:

 – уравнение касательной найдено.

Теперь необходимо найти плозадь треугольника ∆AOB

Т. к. мы уже имеем уравнение касательной, поэтому находим точки А и B следующим образом:

  - значение точки А.

Приравняли  к нулю, нашли, что

  – значение точки B

Отсюда, найдем площадь прямоугольного треугольника:

Ответ: искомая площадь равна 6,75.

3.  Методика нахождения касательной, пример 2

Пример 2: найти уравнение касательной

 – угол наклона касательной

Иллюстрация к примеру 2

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

Для решения задачи необходимо провести касательную таким образом, чтобы по отношению к оси  она была наклонена под углом 45о.

Для начала необходимо найти , абсциссу точки касания:

Находим производную от функции:

 

Далее найдем значение функции в точке :

Все элементы касательной найдены, выписываем уравнение:

4.  Методика нахождения касательной, пример 3

Пример 3: из точки  провести касательную к кривой

Иллюстрация к примеру 3

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

Уравнение касательной:

Для начала расчетов примем, что точка (1;0) удовлетворяет условию уровнения касательной, отсюда следует:

Упрощаем полученное уравнение:

Подтверждаем, что имеется две касательных, где первая касательная:

если , то  и , значит

вторая касательная:

если , то подставив это значение в производную, получим:

После упрощения получаем:

Ответом являются две касательные  и

5. Методика нахождения касательной, пример 4

Пример 4: на исходной кривой  найти число точек, в каждой из которых угол наклона касательной равен

Иллюстрация к примеру 4

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 4

Для решения этой задачи приведем геометрический смысл производной

 – тангенс угла наклона касательной. Угол , значит:

Найдем число точек пересечения на графике, 3 точки.

Итак, мы вспомнили уравнение касательной, расмотрели типовые задачи на касательную.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Cleverstudents.ru (Источник).
  2. Berdov.com (Источник).
  3. Nado5.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Найти уравнение касательной к графику функции и площадь треугольника между касательной и осями координат:

а) ;

б) ;

в) ;

  1. Найти уравнение касательной к графику функции, если задан угол наклона касательной:

а) ;

б) ;

в) ;

  1. Найти уравнение касательной к графику функции из точки, не лежащей на кривой:

а) ;

б) ;

в) ;