Классы
Предметы

Линейная функция

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Линейная функция

На данном уроке мы рассмотрим линейную функцию и решим некоторые связанные с ней типовые задачи.

Тема: Повторение

Урок: Линейная функция

1. Основные факты о линейной функции

Напомним, что линейной называется функция вида:

Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция; k и m – два числа, параметра, определяющие конкретную функцию.

Важно помнить смысл параметров k и m. Число k – это тангенс угла наклона заданной прямой: , где  – угол в верхней полуплоскости между прямой и положительным направлением оси х.

Значение параметра k

Рис. 1. Значение параметра k

Число m – это ордината точки пересечения прямой с осью у:

Корень линейной функции имеет вид:

Например: , здесь

Производная линейной функции имеет вид:

Очевидно, что если число k положительно, то функция везде возрастает, если отрицательно – функция везде убывает.

Отметим, что область определения линейной функции – множество всех действительных чисел, кроме того, при  множество значений функции также множество всех действительных чисел.

 

2.  Определение значений параметров линейной функции

Пример 1: определить знаки параметров линейной функции k и m:

Итак, знак коэффициента k определяется углом наклона прямой к положительному направлению оси х в верхней полуплоскости.На графиках а и в угол наклона острый, тангенс острого

Задание к примеру 1

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Задание к примеру 1

угла положителен, очевидно, что . На графиках б и г угол наклона тупой, тангенс тупого угла отрицателен, очевидно, что .

Знак коэффициента m определяется ординатой пересечения прямой с осью у. На графиках а и г прямая пересекает ось у в нижней полуплоскости, очевидно, что . На графиках б и в прямая пересекает ось у в верхней полуплоскости, очевидно, что .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3.  Параллельность и перпендикулярность прямых

Вспомним условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Для этого рассмотрим две линейных функции:

Предполагаем, что данные прямые наклонены к оси х под некоторыми углами. Тогда несложно догадаться, что прямые параллельны тогда, когда их углы наклона равны, но они пересекают ось у в различных точках, то есть:

Условие перпендикулярности прямых:

Так, мы видим, что используя только лишь параметры линейной функции, можно исследовать параллельность и перпендикулярность прямых.

4. Решение типовых задач 

Пример 2: найти уравнение наклонной прямой, проходящей через заданную точку.

Дано: точка ()

Найти: уравнение наклонной прямой 

Мы знаем, что через одну заданную точку можно провести множество прямых.

Прямые, проходящие через заданную точку

Рис. 3. Прямые, проходящие через заданную точку

Уравнение искомой прямой l: 

Здесь параметры k и m неизвестны. Но мы знаем, что точка  с координатами () лежит на прямой, значит, имеем: 

Так, имеем систему:

Вычтем почленно из первого уравнения второе, получим:

Если будет задано конкретное число k, то имеем уравнение прямой. Таким образом, задавая параметр k, исходя из некоторых поставленных условий, мы можем выбирать из множества прямых, проходящих через заданную точку (рисунок 6.3) конкретную нужную нам прямую.

Пример 3.

Дано: точка ; прямая l: ;

Найти: уравнения прямых а() и b().

Запишем уравнение произвольной наклонной прямой:  (1)

Мы знаем, что точка  принадлежит данной наклонной прямой, значит, имеем:  (2)

Вычтем из первого уравнения второе:  – семейство прямых, проходящих через заданную точку .

Теперь, согласно условию, выбираем из полученного семейства нужные прямые. Первая должна быть параллельна заданной прямой l. условие параллельности прямых – равенство их угловых коэффициентов. Имеем: 

Условие перпендикулярности – произведение угловых коэффициентов равно минус единице, имеем: 

Ответ: прямая а: ; прямая b: 

 

5. Уравнение касательной к графику функции

Напомним уравнение касательной. Задана кривая , на кривой точка (), касательная к кривой проведена в заданной точке.

Касательная к кривой в заданной точке

Рис. 4. Касательная к кривой в заданной точке

Касательная – это прямая, она описывается линейной функцией  (1).

Данная прямая проходит через точку (), имеем:  (2). Вычтем из первого уравнения второе, получим семейство прямых, проходящих через заданную точку: 

Нам необходимо выбрать k таким образом, чтобы данная прямая была касательной к кривой .

Следует вспомнить, что производная в точке  – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке: . Кроме того, отметим: . Получено уравнение касательной:

 

6. Решение типовой задачи

Пример 4: к заданной кривой  написать уравнения касательных:

а) параллельной к прямой 

б) перпендикулярной к прямой 

Запишем производную заданной функции в произвольной точке: 

Значение функции в этой же точке: 

Чтобы построить касательную параллельную заданной прямой, учтем условие параллельности прямых, а именно равенство угловых коэффициентов. Имеем: . Подставим найденную точку в уравнение касательной:

Так, уравнение касательной к графику функции, параллельной заданной прямой, получено: 

Чтобы построить касательную, перпендикулярную заданной прямой, учтем условие перпендикулярности прямых, а именно равенство произведения угловых коэффициентов минус единице. Имеем: . Подставим найденную точку в уравнение касательной:

Так, уравнение касательной к графику функции, перпендикулярной заданной прямой, получено: 

Проиллюстрируем:

Построения к примеру 4

Рис. 5. Построения к примеру 4

Итак, мы рассмотрели линейную функцию, вспомнили основные факты о ней, решили некоторые типовые задачи. Далее будем рассматривать системы линейных уравнений.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Wikia.com (Источник).
  2. Fizmat.by (Источник).
  3. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-3;0,5):

а) параллельной прямой ;

б) перпендикулярной прямой ;

  1. Найти уравнение касательной к графику функции :

а) параллельной прямой ;

б) перпендикулярной прямой ;