Классы
Предметы

Производная

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Производная

На данном уроке мы вспомним, что такое производная, рассмотрим технику дифференцирования простых и сложных функций, приведем некоторые примеры.

Тема: Повторение

Урок: Производная

1. Определение и смысл производной

Сначала вспомним определение и смысл производной. Для этого рассмотрим функцию  и ее график, дадим физическую интерпретацию.

По оси  откладываем время, по оси  – расстояние. Функция  – закон изменения расстояния в зависимости от времени.

Физический смысл производной

Рис. 1. Физический смысл производной

В момент  расстояние равно . Через время  в момент времени  расстояние равно . За время  расстояние изменилось на . Отношение  к  – это средняя скорость за время :

С геометрической точки зрения данное отношение – это тангенс угла наклона секущей АВ. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой АВ, катетами  и  тангенс острого угла  равен отношению противолежащего катета  к прилежащему катету :

Предположим, что  стремится к нулю. Тогда  тоже стремится к нулю, и секущая АВ стремится занять положение касательной (рисунок 15.2).

Вернемся к отношению . Если оно стремится к какому-то конкретному числу, то это число и называется производной функции в точке :

Более строго производной функции в точке  называется предел отношения  при , стремящемся к нулю:

Секущая и касательная к графику функции

Рис. 2. Секущая и касательная к графику функции

Физический смысл производной: производная – это мгновенная скорость в момент .

Геометрический смысл: производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

2. Таблица производных, производная сложной функции, примеры 

Далее требуется вспомнить технику дифференцирования – нахождения производных для различных функций. Рассмотрим на примерах.

1.  , здесь С – постоянное число: производная от константы равна нулю. С физической точки зрения это очевидно: если расстояние постоянно, то есть мы находимся на одном и том же месте, например, в школе или на работе, никакой скорости нет, производная равна нулю;

2. Линейная функция: , например ;

3. Степенная функция: ; производная сложной степенной функции: ; важный частный случай: ; например:

4. Тригонометрические функции:

a) Синус:

b) Косинус:

c) Тангенс:

d) Котангенс:

Например:

5. Показательная функция:

Например:

6. Логарифмическая функция:

Например:

3. Построение графика функции с помощью производной

Пример 1: построить график функции:

Действуем по стандартной методике. Сначала исследуем функцию и строим эскиз графика, не применяя производную.

ОДЗ:

Корни: чтобы найти корни функции, необходимо выражение приравнять к нулю – имеем произведение, равное нулю: . Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, т. е. соблюдена ОДЗ. Имеем: , оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Имеем два интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, далее знак меняется, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале  функция отрицательна.

Опишем эскиз графика в окрестностях корней. Имеем: поскольку в точке  знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х. Слева от точки  функция имеет знак плюс, кривая расположена над осью и обрывается при .

Теперь опишем эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится в данном случае к минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Так, если х стремится к бесконечности с минусом, у тоже стремится к бесконечности с минусом.

Уточним поведение функции с помощью производной.

Приравниваем производную к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем: . Так, когда  производная положительна, функция возрастает. Когда  производная отрицательна, функция убывает. Точка  – критическая точка, точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Имеем:

Проиллюстрируем:

График функции

Рис. 3. График функции

Прочтем полученный график: когда аргумент возрастает от минус бесконечности до четырех третьих, функция возрастает от минус бесконечности до . Когда аргумент возрастает от четырех третьих до двух, функция убывает от  до нуля. В точке  производная функции не существует, касательной к графику является вертикальная прямая.

4. Решение задачи с параметром

Пример 2: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

:

а) имеет хотя бы одно решение;

б) имеет ровно одно решение;

Согласно стандартной методике, сначала необходимо рассмотреть функцию, стоящую в левой части, и построить ее график. Это уже было выполнено в предыдущем примере (рисунок 15.3). Далее требуется рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ. Выполним рассечение:

Рассечение графика семейством прямых

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых

Очевиден ответ:

а) при  уравнение имеет хотя бы одно решение;

б) при  уравнение имеет единственное решение;

Итак, мы повторили важную тему нахождения производной, рассмотрели таблицу производных основных функций, производные сложных функций. Решили некоторые примеры, связанные с производными. Далее перейдем к исследованию функций.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Nado5.ru (Источник).
  2. Cleverstudents.ru (Источник).
  3. Berdov (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Найти производную функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) ;

е) ;

  1. Построить график функции:

а) ;

б) ;

в) ;

  1. Найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений: