Прямая и обратная функции

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы рассмотрим важные понятия прямой и обратной функции, методику получения обратной функции, приведем примеры.

Понятие функции

Пусть заданы два множества – ; – и закон, который каждому элементу первого множества ставит в соответствие единственный элемент второго множества. Тогда:

– числовая функция, где , .

Отметим, что множества могут быть любыми, но мы изучаем, в основном, числовые функции, поэтому и множества числовые.

Определение

Закон , , по которому каждому значению независимой переменной (аргументу) ставится в соответствие единственное значение называется функцией.

Главное требование к функции есть однозначность, единственность от аргумента к функции – от к .

Каждая функция имеет свои характеристики:

-область определения – множество всех допустимых , при которых функция существует, проекция графика на ось ;

-область значений – множество всех значений, которые принимает функция, проекция графика на ось ;

-график функции – множество всех точек вида , .

Пример

График функции нам известен (см. рисунок 1):

Рис. 1. График функции

Область определения ; область значений

Важно, что значение функция принимает при двух значениях аргумента и . Отметим также, что данная функция не монотонна, а значит, не имеет обратной функции.

Пример (см. рисунок 2)

Рис. 2. График функции ,

Область определения ; область значений

Теперь значение функция принимает при единственном значении аргумента . Данная функция будет монотонна, монотонно возрастающая, а значит, имеет обратную функцию.

Обратная функция в общем случае

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть задана некоторая функция и эта функция монотонна, пусть монотонно возрастает (см. рисунок 3).

Рис. 3. График прямой монотонной функции

Так, функция определена на множестве , пусть это отрезок . Только из этого отрезка может принимать значения аргумент. При этом функция может принимать только значения из множества – отрезок . Множество – область определения функции; множество – область значений функции.

Здесь – независимая переменная; – зависимая переменная, функция – это закон, по которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение . Для монотонной функции также характерно, что каждое значение достигается при единственном значении . То есть уравнение , имеет единственное решение, .

Так, соответствие, которое каждому числу из множества значений сопоставляет решение уравнения , является функцией – эта функция будет обратной и обозначается как :

Обратная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством значений и областью определения.

Для обратной функции – независимая переменная, – зависимая переменная.

Свойства обратной функции, методика получения

Свойства обратной функции

- Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

- Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности (обе возрастают или обе убывают).

Рассмотрим методику получения обратной функции.

Дано:, , функция монотонно возрастает.

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ().

Рассмотрим график прямой функции (см. рисунок 4):

Рис. 4. График прямой функции

Для того чтобы получить обратную функцию, нужно:

1. Выразить через , то есть решить уравнение относительно и получить . Так, получаем обратную функцию в осях .

2. Выполнить переобозначение. Поскольку мы привыкли независимую переменную обозначать за , а зависимую за , то в полученной обратной функции и следует поменять местами: ; . Получаем обратную функцию в осях .

3. Чтобы построить график обратной функции, нужно график исходной функции симметрично отобразить относительно прямой .

Пример

Пример

Дано:.

Задача: найти обратную функцию и построить график.

Данная показательная функция монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Сначала решим уравнение относительно : , .

Выполним переобозначение: .

Построим графики (см. рисунок 5):

Рис. 5. График функции и обратной ей функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.

Более сложные задачи

Пример

Получить обратную функцию для

График заданной функции (см. рисунок 6):

Рис. 6. График функции

Выбранный отрезок рассматривается потому, что на нем функция монотонна, а именно монотонно возрастает, кроме того, пробегает все свои возможные значения.

Чтобы получить обратную функцию, выразим через :

Выполним переобозначение (см. рисунок 7):

Рис. 7. Графики прямой и обратной функций

Отметим, что периодическая немонотонная функция, для нее не существует обратной функции. Но, вместе с тем, она кусочно-монотонная, и на отрезке, где она монотонна, существует обратная функция – ее мы нашли и построили.

Пример

Получить обратную функцию для .

Отметим, что заданная функция не монотонна на естественной области определения, но она кусочно-монотонная. Рассматриваем отрезок , здесь функция монотонна и пробегает все свои значения.