Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Прямая и обратная функции

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Прямая и обратная функции

На данном уроке мы рассмотрим важные понятия прямой и обратной функции, методику получения обратной функции, приведем примеры.

Понятие функции

Пусть заданы два множества – ;  – и закон, который каждому элементу первого множества ставит в соответствие единственный элемент второго множества. Тогда:

 – числовая функция, где , .

Отметим, что множества могут быть любыми, но мы изучаем, в основном, числовые функции, поэтому и множества числовые.

Определение

Закон , , по которому каждому значению независимой переменной (аргументу)  ставится в соответствие единственное значение  называется функцией.

Главное требование к функции есть однозначность, единственность от аргумента к функции – от  к .

Каждая функция имеет свои характеристики:

-область определения  – множество всех допустимых , при которых функция существует, проекция графика на ось ;

-область значений  – множество всех значений, которые принимает функция, проекция графика на ось ;

-график функции – множество всех точек вида , .

Пример

График функции нам известен (см. рисунок 1):

Рис. 1. График функции

Область определения ; область значений

Важно, что значение  функция принимает при двух значениях аргумента  и . Отметим также, что данная функция не монотонна, а значит, не имеет обратной функции.

Пример (см. рисунок 2)

,

Рис. 2. График функции ,

Область определения ; область значений

Теперь значение  функция принимает при единственном значении аргумента . Данная функция будет монотонна, монотонно возрастающая, а значит, имеет обратную функцию.

Обратная функция в общем случае

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть задана некоторая функция и эта функция монотонна, пусть монотонно возрастает (см. рисунок 3).

,

Рис. 3. График прямой монотонной функции

Так, функция определена на множестве , пусть это отрезок . Только из этого отрезка может принимать значения аргумент. При этом функция может принимать только значения из множества  – отрезок . Множество  – область определения функции; множество  – область значений функции.

Здесь  – независимая переменная;  – зависимая переменная, функция  – это закон, по которому каждому значению  ставится в соответствие единственное значение . Для монотонной функции также характерно, что каждое значение  достигается при единственном значении . То есть уравнение ,  имеет единственное решение, .

Так, соответствие, которое каждому числу  из множества значений сопоставляет решение уравнения , является функцией – эта функция будет обратной и обозначается как :

Обратная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством значений и областью определения.

Для обратной функции  – независимая переменная,  – зависимая переменная.

Свойства обратной функции, методика получения

Свойства обратной функции

- Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

- Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности (обе возрастают или обе убывают).

Рассмотрим методику получения обратной функции.

Дано:, , функция  монотонно возрастает.

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости ().

Рассмотрим график прямой функции (см. рисунок 4):

Рис. 4. График прямой функции

Для того чтобы получить обратную функцию, нужно:

1. Выразить  через , то есть решить уравнение  относительно  и получить . Так, получаем обратную функцию в осях .

2. Выполнить переобозначение. Поскольку мы привыкли независимую переменную обозначать за , а зависимую за , то в полученной обратной функции  и  следует поменять местами: ; . Получаем обратную функцию в осях .

3. Чтобы построить график обратной функции, нужно график исходной функции симметрично отобразить относительно прямой .

Пример

Пример

Дано:.

Задача: найти обратную функцию и построить график.

Данная показательная функция монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Сначала решим уравнение  относительно : , .

Выполним переобозначение: .

Построим графики (см. рисунок 5):

Рис. 5. График функции  и обратной ей функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.


Более сложные задачи

Пример

Получить обратную функцию для 

График заданной функции (см. рисунок 6):

Рис. 6. График функции

Выбранный отрезок рассматривается потому, что на нем функция монотонна, а именно монотонно возрастает, кроме того, пробегает все свои возможные значения.

Чтобы получить обратную функцию, выразим  через :

Выполним переобозначение (см. рисунок 7):

,

Рис. 7. Графики прямой и обратной функций

Отметим, что  периодическая немонотонная функция, для нее не существует обратной функции. Но, вместе с тем, она кусочно-монотонная, и на отрезке, где она монотонна, существует обратная функция – ее мы нашли и построили.

Пример

Получить обратную функцию для .

Отметим, что заданная функция не монотонна на естественной области определения, но она кусочно-монотонная. Рассматриваем отрезок , здесь функция монотонна и пробегает все свои значения.

Так как функция монотонна, существует обратная функция. Выразим  через :

Выполним переобозначение:

Выполним построение (см. рисунок 8):

Рис. 8. Графики прямой и обратной функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.

Вывод

Итак, мы подробно вспомнили понятия прямой и обратной функций, решили несколько задач.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт terver.ru (Источник)

2. Интернет-сайт nado5.ru (Источник)

3. Интернет-сайт ib.mazurok.com (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найти обратную функцию и построить графики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)