Классы
Предметы
Мой профиль

Функции y=n√x, их свойства и графики

На данном уроке мы рассмотрим функцию y=(√x)n, её основные свойства, и построим графики.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

1. Определение корня n-й степени, существование функций вида

Напомним основное определение.

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Например: , т. к. ; , т. к.

Из определения следует важный вывод:

На множестве значений  существует функция  при , т. е. при любом натуральном n, не равном единице.

Вспомним, что называется функцией.

2. Функция у=х, теорема о симметрии графиков функций

Определение:

Функцией называется закон соответствия, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие единственное значение функции у.

Рассмотрим исследуемую функцию при :

Рис. 1. График функции

Очевидно, что представленный график (Рис. 1.) проходит через точки (1;1), (4;2), (9;3) и т. д.

Чтобы избавиться от корня, возведем функцию в квадрат, наложив условие на у:

Рассмотрим две функции. Первая –  при , график ее – это часть параболы. Вторая функция –  при , это также часть параболы. Данные ветви парабол симметричны относительно прямой . графики имеют две общие точки: (0;0) и (1;1). На ветви параболы  лежат точки с координатами , на ветви параболы  – точки с координатами . Эти точки симметричны относительно прямой . Рис. 2.

Рис. 2. Графики функций ,  и

Теорема:

Точки А(а;b) и В(b,a) симметричны относительно прямой .

Доказательство:

Рассмотрим чертеж (рисунок 3). Координаты точки А означают, что прямоугольный треугольник  имеет катеты а и b. Аналогично треугольник  имеет те же самые катеты. Таким образом, рассмотренные треугольники равны, и из их равенства следует равенство углов 1 и 2 и равенство гипотенуз ОА и ОВ. Напомним, что прямая  является биссектрисой, отсюда углы  и  составляют по , таким образом, углы 3 и 4 равны (т. к. равны углы 1 и 2). Отсюда ОН – биссектриса в равнобедренном треугольнике . Биссектриса, как известно, является осью симметрии для всего треугольника, в том числе и для интересующих нас точек А и В.

Рис. 3. Чертеж к теореме

Доказанная теорема позволяет сделать вывод для любого n:

График функции  при  симметричен графику функции  при  относительно прямой .

Рис. 4. Обобщение теоремы

3. Свойства функции при четных n

Вернемся к функции . Прочтем ее график и перечислим основные свойства.

1.      Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, то функция также возрастает от нуля до бесконечности и проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n;

2.      Область определения: ;

3.      Функция общего вида (не является четной либо нечетной);

4.      Функция возрастает на луче ;

5.      Не ограничена сверху, но ограничена снизу;

6.      Не имеет наибольшего значения, но имеет наименьшее значение ;

7.      Непрерывна;

8.      Область значений: ;

9.      Выпукла вверх на луче . Это означает, что мы можем взять произвольные точки А и В на графике, соединить их отрезком и содержащийся между этими точками кусок графика будет находиться над отрезком;

10.  Функция имеет производную при любом х большем нуля; при  функция не имеет производной, касательной в этой точке является ось у.

4. График и свойства функции

Рассмотрим функцию

Рис. 5. График функции

Докажем, что данная функция нечетная:

Итак, функция  нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

График функции проходит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)

Функция касается оси у.

Аналогичными свойствами и особенностями обладают функции  при любом нечетном n.

5. Решение примеров

Пример 1: построить схематически график функции

Построение:

1.      Строим график функции , он проходит через точки (0;0) и (1;1);

2.      Сдвигаем полученную кривую на две единицы вправо, график проходит через точки (2;0), (3;1);

Рис. 6. График функции, пример 1

Пример 2: построить схематически график функции

Построение:

1.      Построим график функции , он проходит через точки (0;0), (1;1), (-1;-1);

2.      Сдвинем полученную кривую на одну единицу влево, новый график проходит через точки (-1;0), (0;1), (-2;-1)

Рис. 7. График функции, пример 2

Итак, мы рассмотрели функции вида , их свойства и графики, на следующем уроке мы продолжим изучение этих важных функций.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Fizmat.by (Источник).
  2. Terver.ru (Источник).
  3. Studyport.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 443

2. Построить график функции:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Построить график функции и записать аналитическое выражение для функции, симметричной заданной относительно

а) начала координат; б) оси у; в) прямой ;

1. ; 2. ; 3.