Классы
Предметы

Свойства корня n-й степени. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Свойства корня n-й степени.  Задачи

Урок посвящен свойствам корня -й степени, а именно его возведению в степень и извлечению корня. Мы рассмотрим алгоритм выполнения этих действий, ограничения, которые нужно учитывать. Кроме того, решим простейшие примеры и докажем теоремы о рассматриваемых свойствах.

Основные определения

Корень -й степени есть число, которое можно найти. Если это число неотрицательное, то корень называется арифметическим.

Определение

Арифметическим корнем -й степени называется такое неотрицательное число, -я степень которого равна подкоренному выражению:

,   ,

Основное тождество

, исходя из определения.

Примеры

1. 

2.

3.

В последнем примере корень не является арифметическим. Но его можно преобразовать:

, теперь выражение  является арифметическим корнем, только перед ним стоит знак минус.

Возведение корня в степень

Теорема

Если ; ; , , то:

Доказательство

Согласно свойствам корня:

Тогда: 

Что и требовалось доказать.

Докажем на основании определения корня:

Итак, если справедливо:

То правая часть, возведенная в -ю степень, по определению должна дать подкоренное выражение, то есть:

Проверим справедливость данного равенства. Согласно свойствам степени, показатели можем поменять местами, получим:

Что и требовалось доказать.

Примеры

1.

2. ,

3.

Извлечение корня из корня

Теорема

Если ; ; ; , то:

Доказательство

Из основного тождества, если верно:

То если правую часть возвести в степень , должно получиться подкоренное выражение:

Что и требовалось доказать.

Примеры

1.

С другой стороны .

2.

3. ,

4. ,

5. ,

Вывод

Итак, мы изучили свойства корня, а именно его возведение в степень и извлечение из него корня. Мы доказали теоремы и решили простейшие примеры.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2011 г.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013 г.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008 г.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)

2. Интернет-сайт oldskola1.narod.ru (Источник)

3. Интернет-сайт profmeter.com.ua (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вычислить:

; ;

2. Вычислить:

; ; ; ;

3. Вычислить:

; ; ;