Классы
Предметы

Неравенства с модулями

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Неравенства с модулями

В данном уроке мы рассмотрим решение неравенств с модулями, приведем различные примеры таких неравенств.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Неравенства с модулями

1. Определения модуля

Существует несколько определений модуля. Эти определения должны быть равноценны, эквивалентны, т. е. из первого определения следует второе, а из второго первое.

Определение:

Модулем числа t называется само число t, если оно больше нуля, модулем нуля является ноль, и если под модулем отрицательное число, то модуль t равен минус t.

 

Обычно в задачах под модулем стоит целое выражение, зависящее от х, тогда:

Из вешесказанного следует простое правило: если под модулем стоит положительное число, то модуль можно отбросить. Если же под модулем стоит отрицательное число, то модуль следует отбросить, но поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

Определение:

Модуль числа t – это расстояние от точки t до точки 0.

В частности, 

Например:

Модули чисел 3 и -3

Рис. 1. Модули чисел 3 и -3

 

2. Решение простейших примеров 

Из определения модуля следует основной прием решения задач с модулем, а именно, освободиться от модуля на основе его определения. Поясним на конкретном примере.

Пример 1 – построить график функции:

Согласно определению модуля, рассматриваем два случая:

График функции

Рис. 2. График функции

Пример 2 – решить неравенства:

a)

Решим, опираясь на второе определение:

Проиллюстрируем:

Решение примера 2.a

Рис. 3. Решение примера 2.a

Любая точка, не принадлежащая выбранному отрезку, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет больше заданного расстояния.

Ответ:

б)

Проиллюстрируем:

Решение примера 2.б

Рис. 4. Решение примера 2.б

Любая точка, не принадлежащая выбранным промежуткам, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет меньше заданного расстояния.

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

Данное неравенство можно решать двумя способами.

Способ 1 (по определению):

Способ 2:

Строгое доказательство данного способа опустим, приведем и прокомментируем его.

Поясним на графике (рисунок 5)

Рис. 5. Пояснительный график

Итак, на рисунке 12.5 изображен график функции . Решения неравенства  заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворит промежуток значений (-g; g) – показано красным.

3. Схемы решения более сложных неравенств с уединенным модулем  

Рассмотрим следующий тип неравенств с уединенным модулем:

Аналогично предыдущему неравенству, покажем два способа решения.

Способ 1:

Способ 2:

Доказательство данного способа можно получить, продолжив преобразовывать совокупность, полученную в первом способе. Мы проиллюстрируем данный способ решения:

Пояснительный график

Рис. 6. Пояснительный график

Итак, на рисунке 6 изображен график функции . Решения неравенства  заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворят промежутки значений  – показано красным.

 

4. Решение примеров 

Пример 3 – решить неравенство:

Решаем неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение системы:

Решение системы в примере 3

Рис. 7 Решение системы в примере 3

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

Решаем вторым способом:

Проиллюстрируем решение совокупности:

Решение совокупности в примере 4

Рис. 8. Решение совокупности в примере 4

Ответ:

5. Решение неравенств с модулем методом интервалов

Неравенства с модулем можно решать методом интервалов.

Пример 5 – решить неравенства:

а)

б)

Согласно стандартному алгоритму, рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль:

Исследуем функцию. ОДЗ:

Чтобы найти корни, решим уравнение:

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции:

Интервалы знакопостоянства функции

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства функции

Ответ: а); б) ;

6. Решение неравенства с двумя модулями

Рассмотрим неравенство, в котором сравниваются два модуля.

Пример 6 – решить неравенство:

Напомним, что если обе части неравенства положительны, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом равносильность не теряется. В данном случае каждый модуль неотрицателен, имеем право возвести в квадрат, при этом модули уничтожатся, согласно свойству ():

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

Вынесем из скобок константные множители:

Разделим обе части неравенства на минус три, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

Получено простейшее квадратное неравенство. Парабола, ветви направлены вверх, интересующие нас значения находятся в интервале между корнями.

Ответ:

            Итак, мы рассмотрели различные типовые неравенства с модулем, привели некоторые схемы решения и решили примеры. Далее перейдем к системам уравнений.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал естественных наук (Источник).

2. ЕГЭ по математике (Источник).

3. Математика, которая мне нравится (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство:

а) ;

б);  

в);  

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;