Классы
Предметы

Общие методы решения уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Общие методы решения уравнений

На данном уроке мы изучим общие методы решения уравнений. Изучим уравнения со сложными функциями нового вида h(f(x))=h(g(x)) с разными аргументами. Рассмотрим общие методы решения таких уравнений, приведем примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

1. Уравнения вида h(f(x)) = h (g(x)). Пример 1,2

Рассмотрим уравнения

(1)                (2)

 – сложная функция. Ее аргументом являются функции. В первом случае равны функции, во втором – аргументы. Если   – решение уравнения (2), то будет ли это корнем уравнения (1)? Да, будет, если  существует.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1.

  и  

Решим уравнение (2):

Проверим, будет ли решение уравнения (1) таким же:

Рассмотрим уравнение (2)

 – монотонная функция, поэтому уравнения (1) и (2) равносильны.

И поэтому, решая уравнение (1), мы решаем уравнение (2).

Ответ: 

Переобозначим:

Тогда уравнение (1) примет вид:

 (3)

Имеем равенство функций.

Уравнение (2) примет вид:

(4)

Имеем равенство аргументов.

Вспомним определение функции.

Определение.

 (единственность)

То есть, каждому допустимому аргументу ставится в соответствие единственное значение.

Следовательно, из равенства аргументов следует равенство функций:

Пример 2.

а)    

При любом допустимом основании .

б)

Из равенства монотонных функций следует равенство аргументов:

Функция монотонна, а значит, каждое значение функция принимает при единственном значении:

Рис. 1. Значение функции

Можно сделать вывод:

Если функция монотонно убывает или возрастает, то равенство функций и равенство аргументов равносильны:

Вернемся к начальным обозначениям и сформулируем утверждение.

 

2. Утверждение 1

Каждый корень  уравнения (2) такой, что  является корнем уравнения (1).

Возникает вопрос, всегда ли, решив уравнение (2), мы получим все решения уравнений (1).

3. Утверждение 2

Если  монотонна, то . То есть, множество корней совпадает.

Если  не монотонна, то . То есть, решив уравнение (2), получим часть решений уравнения (1).

4. Пример 3

Значит, из равенства функций следует равенство аргументов:

 

Эти уравнения равносильны.

Ответ:

5. Пример 4

Это уравнение вида (1), где

Значит, уравнения равносильны:

Из равенства функций следует равенство аргументов, и наоборот. Мы получили полное множество решений, так как функция  монотонна.

Ответ:

Рассмотрим примеры с не монотонными функциями.

6. Пример 5

 не монотонна.

 – одно из решений, так как решением такого уравнения является .

Ответ:

7. Пример 6

 не монотонна

один из корней

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решения уравнений вида  На следующем уроке мы рассмотрим решения уравнений методом разложения на множители.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ru.wikipedia.org (Источник).
  2. Mat.1september.ru (Источник).
  3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнения:

а);

б) .

2. Укажите, в каких уравнениях равенство функций и равенство аргументов равносильны, объясните.

a);

б) ;

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1679, 1680, 1681, 1682..