Классы
Предметы

Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств

На данном уроке мы приступим к теме «Решение неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств». На занятии мы обсудим важное понятие равносильности неравенств. Рассмотрим процесс решения таких неравенств с одной переменной путём замены более сложного неравенства более простым, но равносильным. 

Определение 1. Понятия неравенства

Рассмотрим решение в общем виде:  (1).

 называется частным решением, если .

Множество всех частных решений есть общее решение (или просто решение) неравенства. Решить неравенство – значит найти его общее решение.

Рассмотрим отличия неравенств от уравнений:

1.      Имеет бесконечное множество решений (как правило).

2.      Невозможна проверка подстановкой в исходное неравенство.

Поэтому неравенства можно решать только равносильными преобразованиями:

  

Решение неравенства заключается в замене исходного неравенства более простым, но равносильным неравенством.

Определение 1.

Неравенства  (1) и  (2) называются равносильными, если их решения совпадают.

Пример 1

Пример 1.

1. 

2. 

Множества решений совпадают. Значит:

Определение 2. Равносильность неравенств

Определение 2. Если решение неравенства  (1) содержится в решении неравенства  (2), то неравенство (2) есть следствие неравенства (1).

.

Рассмотрим некоторые из равносильных преобразований:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Рассмотрим примеры, в которых можно допустить типовые ошибки:

Пример 2

1. 

«Решение»:

«Ответ»:  ( – частные решения)

Проблема в умножении на Он мог быть и отрицательным, и положительным. Надо менять знак.

Правило: в неравенствах нельзя умножать на , если его знак не известен.

2. 

Решение:

Ответ: (верно)

Правильное решение:

3.       

1.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

2.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

Ответ: 

Мы рассмотрели важное понятие равносильности неравенств. На следующем уроке рассмотрим метод интервалов.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

  1. Решить неравенства:
    а)
    б)
  2. Решить неравенства:
    a)   ;
    б) ;
  3.  Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1745, 1746, 1747.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Raal100.narod.ru (Источник). 
  2. Matematika.egepedia.ru (Источник).