Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Системы и совокупности неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Системы и совокупности неравенств

В данном уроке мы рассмотрим системы и совокупности различных неравенств, приведем соответствующие примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Системы и совокупности неравенств

1. Понятие системы и совокупности неравенств, простейшие примеры

Рассмотрим систему неравенств:

Мы знаем, как решить каждое из этих неравенств. Найти решение каждого неравенства – значит найти множество всех х, при которых неравенство обращается в верное числовое соотношение. Предположим, мы нашли такое множество для каждого из заданных уравнений системы:

Решить систему – означает найти все х, удовлетворяющие одновременно и первому, и второму неравенству, то есть принадлежащие и множеству А, и множеству В.

Пример 1 – решить систему неравенств:

Покажем решение системы графически:

Иллюстрация к примеру

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Очевиден ответ:

Комментарий: только значения х, находящиеся на выбранном отрезке, удовлетворяют одновременно первому и второму неравенству.

Рассмотрим совокупность двух неравенств:

Предположим, мы нашли решения обоих неравенств:

Решить совокупность – означает найти все х, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, то есть входят хотя бы в одно из множеств А или В.

Например:

Полученные интервалы проиллюстрированы на рисунке 10.1. Очевиден ответ:

2. Строгое определение пересечения и объединения

Теперь можем дать строгие определения.

Пересечение двух множеств

Рис. 2. Пересечение двух множеств

Определение:

Пересечением двух множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из всех элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

 

Объединение двух множеств

Рис. 3. Объединение двух множеств

Определение:

Объединением двух множеств А и В называют такое множество D, которое состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В.

 

 

3. Примеры решения систем и совокупностей  с числовыми множествами

Пример 1 – решить систему и совокупность:

а)

Проиллюстрируем решение:

Иллюстрация к примеру 1.а

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.а

б)

Проиллюстрируем решение:

Иллюстрация к примеру 1.б

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.б

в)

Поскольку во втором множестве нет ни одного элемента, то общей части у множеств тоже нет.

4. Примеры решения систем и совокупностей неравенств

Пример 2 – решить систему неравенств и их совокупность:

Решаем первое неравенство методом интервалов:

ОДЗ:

Корни:

Покажем интервалы знакопостоянства и знаки функции на них:

Решение первого неравенства

Рис. 6. Решение первого неравенства

Таким образом, решение первого неравенства:

Рассмотрим второе неравенство:

Задана квадратичная функция, корни ее , ветви параболы направлены вверх. Интересующие нас значения находятся в интервале за корнями. Проиллюстрируем:

Решение второго неравенства

Рис. 7. Решение второго неравенства

Таким образом, решение второго неравенства:

В результате преобразований получена система:

Получили

Получили:

Проиллюстрируем:

Решение примера 2

Рис. 8. Решение примера 2

 

Итак, мы рассмотрели системы и совокупности неравенств, ввели строгие определения и решили несколько примеров. Далее перейдем к решению иррациональных неравенств.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал естественных наук (Источник).

2. UCHILOK.NET (Источник).

3. Прикладная математика (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить систему и совокупность:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить систему и совокупность:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;