Классы
Предметы

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Уравнения и неравенства с двумя переменными

В данном уроке мы рассмотрим решение уравнений и неравенств с двумя переменными. Приведем различные примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными

1. Основные теоретические факты

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

 – уравнение с двумя переменными;

 – неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

2. Уравнение и неравенство с прямой 

Пример 1 – решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

График уравнения, пример 1

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х0, х0+1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х0 на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .

3. Уравнение и неравенство с окружностью  

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 – решить уравнение и неравенство:

Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Иллюстрация к примеру 2

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х0 уравнение имеет два решения: (х0; у0) и (х0; -у0).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

4.  Уравнение с модулями

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 – решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х0; у0) является решением, то и точка (х0; -у0) – также решение, точки (-х0; у0) и (-х0; -у0) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Иллюстрация к примеру 3

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

5.  Метод областей в решении неравенств

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.                                 

График функции

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой  и ломаной . внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной  и прямой  – область D2, ниже прямой  – область D3, между отрезком ломаной  и прямой  – область D4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области  возьмем точку (0;1). Имеем:

Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (-3;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:

Решение примера 4

Рис. 5. Решение примера 4

Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными, на следующем уроке одну из переменных назовем параметром.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

3. Nado5.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

2. Решить неравенство:

а)  б) ; в) ; г) ;