Классы
Предметы

Линейная функция и ее график (В.А.Тарасов)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Линейная функция и ее график (В.А.Тарасов)

На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции» и «Функции»

Напоминание некоторых теоретических фактов и решение опорной задачи

В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида , . Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:

Пример 1:

 (1)

Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:

Сократим на 2:

Перенесем у в левую часть, а все остальное в правую:

 (2)

Мы получили частный случай уравнения 1, в котором  стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись 2 мы будем называть линейной функцией у от х.

Построим график данной функции, для этого составим таблицу:

х

0

1,5

у

-3

0

Рис. 1. График функции y=2x-3

Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов

Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:

Поскольку  можем обе части поделить на b:

Введем более удобные обозначения:

,

Получаем выражение:

 (3)

Для примера №1 ,

Таким образом, пара чисел k и m задают конкретную линейную функцию.

Введем некоторую терминологию. В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение х и по нему находить соответствующее значение у.

 называют зависимой переменной или функцией.

Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение х, можно сразу получить значение у. у – это линейная функция от х.

Найдем для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса – координата х, равна нулю.

, ;

Точка пересечения с осью у: (0, m)

Отсюда геометрический смысл переменной m – это ордината точки пересечения прямой 3 с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой 3 с осью ординат.

Параметр  носит название угловой коэффициент.

Для всех точек на оси х характерно то, что их ордината равна нулю. Найдем точку пересечения нашей функции с осью х:

, , ,

Точка пересечения с осью х: ()

Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

Пример 2:

Построим графики двух линейных функций:  (4),  (5)

В функции 4

В функции 5

Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

х

0

-3

у

m=3

0

Таблица для функции 4;

х

0

3

у

m=3

0

Таблица для функции 5;

Рис.2. Графики функций y=-x+3 и y=x+3

Итак, из построения мы видим, что когда  (прямая ) угол  между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда  (прямая ) угол  между прямой и положительным направлением оси х тупой.

Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.

Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.

Отметим, что решением следующей системы:

Является точка (0; 3).

Решение типовых задач

Пример 3 – найти k и m:

Задано линейное уравнение, так как х и у стоят в первой степени, с двумя переменными.

Чтобы найти k и m, выполним преобразования:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а

Пример 4 – найти k и m:

Преобразуем правую часть:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а

Итак, одна из стандартных задач – это нахождение по заданному линейному уравнению параметров линейной функции k и m.

Еще две стандартные задачи – по заданному значению х найти у и наоборот, по заданному значению у найти х. Рассмотрим пример.

Пример 5 – найти значение у при :

Такую задачу иногда называют прямой задачей.

Пример 6 – найти значение аргумента, если :

Эта задача называется обратной.

Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели линейную функцию как в частных случаях, так и в общем виде, определили параметры линейной функции и их значение, ввели некоторые новые термины, научились решать элементарные типовые задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал FizMat.by (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 317, ст.74;

Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 319, ст.74;

Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 322, ст.75;