Классы
Предметы

Взаимное расположение графиков линейных функций

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Взаимное расположение графиков линейных функций

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

1. Напоминание теоретических положений

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

Рассмотрим пример:

Пример 1:

, ,

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр  – это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент  отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент  называется угловым коэффициентом.

Составим таблицы для построения графиков:

х

0

-0,5

у

1

0

Таблица для первой функции;

х

0

1

у

0

2

Таблица для второй функции;

х

0

0,5

у

-1

0

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Рис. 1.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

 и 

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.

3. Рассмотрение примера на свойства параметров функции

Рассмотрим задачи.

Пример 2 – определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Рис. 2.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Рис. 3.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Рис. 4.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рис. 5.

4. Рассмотрение случая пересекающихся прямых

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:

 

 

Обе функции имеют график – прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

х

0

1,5

у

-3

0

Таблица для первой функции;

х

0

4

у

2

0

Таблица для второй функции;

Рис. 6.

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:

5. Подведение итогов

Подведем итог. Заданы прямые:

 и 

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Если  при любых значениях m заданные прямые имеют единственную точку пересечения.

Вывод: в данном уроке мы вспомнили теоретические положения относительно линейных функций и свойства их коэффициентов. Мы рассмотрели различные варианты взаимного расположения графиков линейных функций и решили несколько типовых задач.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Функции и графики (Источник).

2. Портал для семейного просмотра (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1022, ст.223;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1011, ст.221;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 1018, ст.222;