Классы
Предметы

Основные понятия. Графический метод (С.М.Слупко)

На этом уроке мы познакомимся с системами линейных уравнений и научимся их решать графическим методом.

Введение

Мы начинаем разговор о системах линейных уравнений. Этот урок будет разделен на две части:

Обсуждение того, что такое система. Решение систем.

Начнем с первого вопроса – что такое система.

Пример:

Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий (см. Рис. 1), а про второго, что тот блондин (см. Рис. 2), то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным, к разным преступникам.

Рис. 1. Высокие преступники

Рис. 2. Преступники-блондины

Если это информация про одного и того же преступника, то это – система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Преступник – высокий блондин

Пример:

Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Улица Гоголя

Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Проспект Мира

Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке. (См. Рис. 6.) Два условия объединены в систему.

Рис. 6. Дом находится на перекрестке

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

Системы в математике

Решим такую задачу. Два человека вскопали огород площадью . Сколько вскопал каждый? (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Запишем условие уравнением: , где  – площадь, которую вскопал первый человек,  – площадь, которую вскопал второй человек.

Решение такого уравнения – пара чисел. Их бесконечно много. Например, один вскопал , другой –  . (См. Рис. 8.) Или один вскопал все , другой – ничего. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Один вскопал , другой –

Рис. 9. Один вскопал все , другой – ничего

Можно изобразить каждое такое решение в виде точки на координатной плоскости. Все решения выстроятся в одну прямую. (См. Рис. 10.) Эту прямую называют графиком уравнения.

Рис. 10. График уравнения

Каждая точка этой прямой – одно частное решение уравнения. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Частное решение

Теперь такая задача. Два человека вскопали равные площади. Сколько вскопал каждый?

Уравнение имеет вид: . Здесь тоже бесконечно много решений.

А если речь идет про один и тот же огород, про одних и тех же людей, то эти два условия выполняются одновременно. Двое вскопали огород , причем поровну.

Уравнения нужно объединить в систему. Договорились обозначать это фигурной скобкой: .

Второе уравнение можно переписать в стандартном виде: . Такая запись эквивалентна исходной.

Здесь уже только одно решение – каждый вскопал по .

Эта пара чисел является решением каждого из уравнений системы. На графике она является точкой, принадлежащей обоим графикам, то есть точкой их пересечений. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Графическое решение системы

Ответ: .

Основные сведения о понятии «система»

Система – это требование, чтобы несколько условий выполнялись одновременно:

Простой случай системы в математике – два линейных уравнения с двумя неизвестными: Решением системы называется общее решение для всех уравнений: .

Как решать системы линейных уравнений

Рассмотрим систему: .

Изобразим множество решений каждого уравнения – построим графики уравнений.

Первое уравнение:. Множество решений – прямая. Чтобы ее изобразить, нужны две любые точки, то есть два любых решения. Можно взять, например, такие решения:  и .

Отметим эти решения на координатной плоскости и проведем через них прямую. Мы получили все решения уравнения. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Решение первого уравнения

Аналогично для второго уравнения: . Возьмем, например, точки  и . Изобразим их на координатной плоскости и проведем через них прямую. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Решение второго уравнения (зеленый график)

Итак, каждая прямая – это множество решений одного уравнения. Где находится точка, которая является решением обоих уравнений? Конечно, это точка пересечения прямых.

По-другому это решение можно записать в виде пары чисел, координат точки пересечения: . (См. Рис. 15.)

Рис. 15.  решение системы – точка пересечения графиков

Решение превращает уравнение в верное числовое равенство. Проверим (вместо переменных подставим найденные значения):

Ответ: .


Как записывать ответ

Ответ записывают по-разному:
Ответ:

Ответ: ;

Ответ:

Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но, все-таки запись  является уравнением. Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).

Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел .

 

Когда у системы нет решений

Вернемся к примеру с домом и двумя улицами: .

Система этих двух условий означает, что один и тот же дом находится и на одной и на другой улице. Решение системы – дом находится на перекрестке. (См. Рис. 6.)

Но что, если улицы окажутся параллельными? (См. Рис. 16.) Тогда дом никак не может быть одновременно на двух улицах. Решения у такой системы нет.

Рис. 16. Улицы параллельны

Точно такая же ситуация с системой двух уравнений.

Пример. Решить систему: .

Решение

Построим графики уравнений. Возьмем по два решения для каждого из уравнений. Например,  и  для  и  и  для .

Графики параллельны. Общих точек не существует. Решения у системы нет. (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Графики параллельны – решения у системы нет

Можно ли это было увидеть, не строя графиков? Да, можно.

Разделим обе части второго уравнения на : .

Ни при каких значениях  и  левая часть не может быть равна и , и  одновременно. Решений нет.

Когда у системы множество решений

Снова вернемся к дому и двум улицам. Представим теперь, что это просто два разных названия одной и той же улицы (старое и новое). (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Улицы совпадают

Тогда второе условие ничего не добавляет к первому. Решений много – дом может находиться в любом месте улицы.

То же самое и с системой уравнений.

Пример. Решить систему:.

Решение

Найдем два решения первого уравнения: . Например,  и .

Но для второго уравнения  они тоже подходят.

То есть графики уравнений совпадают. (См. Рис. 19.) Каждая точка прямой является общей для обоих графиков, а значит, является решением системы.

Рис. 19. Графики совпадают

Решений бесконечно много, они совпадают с множеством решений каждого уравнения.

Могли бы мы это увидеть без построения графика? Да, могли.

Разделим обе части второго уравнения на : .

Система содержит два одинаковых уравнения. Но информация, повторенная второй раз, нового ничего не сообщает. Одно уравнение можно «удалить». Система эквивалентна одному уравнению: . А ее решения – это решения уравнения.

Одно из уравнений системы содержит одну переменную

Если какое-то уравнение содержит только одну переменную, то его все равно можно считать уравнением с двумя переменными.

Рассмотрим систему . Это можно воспринимать так: перед переменной, которую мы не видим, стоит коэффициент : . График такого уравнения параллелен одной из осей координат. В остальном ситуация прежняя.

Возьмем по два решения для каждого из уравнений. Например,  и  для  и  и  для . Строим графики. Они пересекаются. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Графики уравнений

Решение единственное: .

Ответ: .

Заключение

Два условия называются системой, если они должны выполняться одновременно: «сумма  и  равна , а также  и  равны друг другу»: . Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением и первого и второго уравнений: . Чтобы решить систему графически, нужно построить график каждого уравнения и найти общие точки. Если эти две прямые пересекаются в одной точке, то эта точка – единственное решение системы. (См. Рис. 21.)

Рис. 21. Прямые пересекаются в одной точке – решение единственно

Если графики параллельны, то общих точек нет и система не имеет решения (См. Рис. 22.)

Рис. 22. Графики параллельны – решений нет

Если графики совпадают, то каждая точка графика является общей, то есть является решением системы. Решений бесконечно много. (См. Рис. 23.)

Рис. 23. Графики совпадают – решений бесконечно много

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014 – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др. Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013 – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)

2. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

3. Интернет-сайт oldskola1.narod.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решить систему: .

2. Решить систему: .

3. Решить уравнение: .