Классы
Предметы

Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Математические модели реальных ситуаций

На этом уроке мы разберем, как решать задачи с помощью систем линейных уравнений, научимся переводить условия задач на математический язык и строить математические модели.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Введение

Решим такую задачу. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Условие задачи

В задаче речь идет о трех объектах: о кролике, птице и кабане, и неизвестными величинами являются массы этих зверей.

Сумма трех кроликов – это три кролика. Можно продолжать с картинками, но это неудобно.

Заменим массу животных на переменные (см. Рис. 2):

Рис. 2. Условные обозначения

Перепишем все, что показано на картинке, с помощью переменных:

Решим полученную систему:

Тогда получаем, что масса трех животных:

Нам нигде не пришлось думать, решать задачу. Главное, что нужно было сделать – аккуратно переписать условие задачи с помощью введенных обозначений. Таким образом, мы построили математическую модель – записали условие задачи на математическом языке и решили ее абсолютно автоматически.

Алгоритм решения задач

Все задачи, которые будут встречаться в дальнейшем, решаются по одному алгоритму. Итак, рассмотрим этот алгоритм. В нем выделим 4 пункта.

1. Что происходит?

Читаем внимательно задачу и представляем, что происходит. Перечисляем всех участников и их характеристики (величины), которые можно измерить.

2. Моделирование

Вводим обозначения для всех этих величин. Переписываем все, что сказано в условии задачи, с помощью этих обозначений. Получаем набор алгебраических условий, уравнений, который мы называем моделью.

3. Решение

Решаем полученные уравнения. Получаем ответ в рамках модели.

4. Ответ

Возвращаемся от модели к задаче. Даем ответ на вопрос задачи.

Задачи

Пример 1.

Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми –  км, и встретились через  ч. С какой скоростью шел каждый турист, если первый прошел на  км больше, чем второй?

Решение

1 этап. Что происходит?

Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошел какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Еще есть общее расстояние между городами. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2 этап. Модель

Итак, для каждого участника есть три величины и еще общее расстояние:

                             

Итак, 7 величин, 7 обозначений. (См. Рис. 4.) Пока нас не интересовало, какие из них уже известны, а какие нет.

Рис. 4. Условные обозначения

А как же быть с  и ? Будем ли мы вводить эти обозначения? Для задач на движение есть уже свои всем понятные обозначения:  – расстояние,  – скорость,  – время. И заменять их на  и  нет никакого смысла. А вообще это совершенно неважно. Делайте такие обозначения, чтобы вам было удобно и понятно.

Теперь нам нужно переписать условие задачи, используя введенные обозначения.

 – вышли одновременно и встретились через  ч.

 – расстояние между городами  км.

 – вышли из двух городов и встретились.

 – первый прошел на  км больше, чем второй.

Найти нужно скорости каждого туриста.

,  – ?

Кроме того, что сказано в задаче, мы владеем еще кое-какой важной информацией. А именно, как связаны все эти величины друг с другом. Запишем эти соотношения для каждого туриста:

Итак, мы получили математическую модель – ввели обозначения и с помощью них переписали условие задачи. То есть мы уже выполнили  всей работы.

3 этап. Решение

Наша модель содержит уже всю информацию. Никакой новой информации не будет, и никакая не пропадет. Мы просто займемся переписыванием ее в эквивалентном, но более удобном виде.

Итак, надо найти , .

Для начала уменьшим количество записей в модели. Для этого подставим все известные величины.

Нам известны ,  и . Получаем:

Нижние два уравнения содержат величины, которые мы ищем. Но здесь  неизвестных, и если эти два уравнения взять в качестве системы, то у неё будет бесконечно много решений.

Верхние два уравнения содержат только две неизвестные. Правда, там нет нам нужных, но если решить систему этих двух уравнений, мы найдем , , а затем уже и ,  из нижних двух.

То есть в качестве системы берем два верхних уравнения.

Решим систему методом сложения. Сложим почленно оба уравнения – получим первое уравнение новой системы, вычтем из первого второе – получим второе уравнение новой системы:

Нашли . Теперь подставим их в два оставшихся уравнения.

Итак, смоделированную задачу мы решили, остался последний этап.

4 этап. Ответ

Возвращаемся к исходной задаче. Заменяем наши обозначения на названия величин.

Ответ: скорость первого пешехода – , скорость второго пешехода – .

 

Пример 2.

На двух полках  книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в  раза больше, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Решение

1 этап. Что происходит?

На двух полках стоят книги. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Размещение книг до перестановки

С одной полки переносят часть книг на другую. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Размещение книг после перестановки

2 этап. Модель

Первый момент, до перестановки. Обозначим через  и  количество книг на первой и второй полках. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Количества книг на полках до перестановки

Второй момент, после перестановки. Теперь на полках другое количество книг. Обозначим новые количества через  и . (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Количества книг на полках после перестановки

Запишем все условия в этих обозначениях.

 – на двух полках  книг.

 – со второй полки переставили половину книг на первую.

 – со второй полки переставили половину книг на первую.

 – на первой полке в  раза больше книг, чем на второй.

Можно еще написать, что после перестановки общее количество книг не изменилось:

Необходимо найти: ,  – ?

Мы построили модель. Пока мы будем решать эту уже математическую задачу, не станем вспоминать про книги и полки.

3 этап. Решение

Итак, мы хотим получить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Лучше, чтобы это были  и , так как именно их нам нужно найти.

Первое уравнение нам для этого подходит. А все остальные содержат еще или  или . Но можно заметить, что если в уравнение  подставить выражения для  и , то мы получим второе уравнение для  и .

Составим и решим систему:

Из верхнего уравнения вычтем нижнее:

Мы получили ответ для модели, теперь возвращаемся к задаче.

4 этап. Ответ

На первой полке было  книги, на второй – .
В самом деле, если половину книг со второй полки переставить на первую, то на второй останется , а на первой станет , то есть в  раза больше.

На самом деле, совершенно не обязательно при составлении модели должно получаться два уравнения с двумя неизвестными. Их может быть и , и .


Системы уравнений с большим количеством переменных.

На самом деле, переменных столько, сколько мы ввели обозначений. Если обозначений , то и уравнений должно быть . Такой подход отличается от предыдущих только своей большей формальностью.

Посмотрим на первую задачу с этой точки зрения.

Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми –  км, и встретились через  ч. С какой скоростью шел каждый турист, если первый прошел на  км больше, чем второй?

1 этап. Что происходит?

Мы это уже все обсудили. Ничего нового.

Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошел какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Еще есть общее расстояние между городами. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. О чем задача

2 этап. Модель

Мы ввели  обозначений: , , , , , , . Можно сказать, что это  переменных. Нам необходимо для решения  уравнений.

Вспомним, какие у нас были выписаны условия.

Посчитаем, сколько у нас уравнений. Вроде бы , последняя запись – вообще не уравнение.

На самом деле, верхняя строчка – это два уравнения, их можно расписать по отдельности, и получим систему из  линейных уравнений с  неизвестными.

3 этап. Решение

Решается она точно такими же методами, как система с двумя уравнениями, – подстановка и сложение.

Верхние три уравнения уже имеют очень хороший вид, их трогать не будем, но подставим их в остальные.

Внутри большой системы можно увидеть систему поменьше.

Если сложить  и  строки, то пропадет . Тогда легко увидеть, что . Это условие можно записать вместо любого из двух, откуда мы это и получили.

Нужно следить, чтобы уравнений оставалось .

Теперь легко найти .

Остались два нижних уравнения. Подставим туда значения  и .

Находим оставшиеся неизвестные.

4 этап. Ответ

Конечно, ответ не зависит от выбранного способа решения: скорость первого пешехода – , скорость второго пешехода – .

Какие преимущества и недостатки у этого подхода по сравнению с первым?

Преимущества: этот метод более автоматизирован, он ближе к идеальному алгоритму. Нужно только ввести обозначения и написать соответствующее количество уравнений.

Недостатки: может оказаться, что проделано много лишней работы. Ведь обычно нам нужны не все переменные, а этот метод предлагает найти все.


 

Пример 3.

За  часа по течению и  часа против течения теплоход проходит  км. За  ч по течению и  мин против течения теплоход проходит  км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.

Решение

1 этап. Что происходит?

Итак, у нас два независимых события: теплоход первый раз плывет по течению и против него одно и то же расстояние, и второй раз, тоже по течению и против него, но уже другое расстояние.

2 этап. Модель

Введем обозначения.

У нас 4 промежутка времени , , ,

Два расстояния, две скорости – реки и теплохода , , ,

Перепишем все условия в наших обозначениях. Нам известны все 4 промежутка времени. Запишем их.

Теперь первый заплыв:

Он проплыл 380 км, причем эти 380 км состоят из двух частей. Первая часть та, что он проплыл по течению, очевидно, со скоростью . Мы можем записывать время, которое он плыл по течению, как , но так как мы знаем его, то можно писать уже само значение,  часа. И второе слагаемое – расстояние, пройденное против течения.

Теперь то же самое мы можем записать для второго заплыва.

Необходимо найти: ,  – ?

Модель составлена.

3 этап. Решение

Итак, два длинных уравнения в нашей модели дают нам систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решим ее. Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Умножим обе части нижнего уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

Сложим почленно уравнения, пропадет переменная :

Найдем :

Подставим во второе уравнение.

Система решена.

4 этап. Ответ

Мы получили ответ для модели, возвращаемся к задаче.

Скорость теплохода – .

Скорость течения реки – .

Заключение

Итак, как устроен наш единый алгоритм для решения задач.

1. Что происходит?
Внимательно читаем задачу и представляем, что происходит. Обязательно нужно представить все до конца и всех участников событий.

2. Моделирование
Вводим обозначения для всех величин, которые есть в задаче. Аккуратно переписываем условия задачи с введенными обозначениями. Это главный навык, который мы должны натренировать.

3. Решение
Решаем уравнения в нашей модели.

4. Ответ
Возвращаемся к задаче, формулируем ответ.

Еще одна рекомендация. Она относится не только к решению такого рода задач, а вообще к занятию математикой.

Даже если вы не пишете контрольную работу, а просто решаете задачу для себя, обязательно оформляйте все аккуратно, пишите разборчиво. Очень часто не удается решить задачу из-за того, что оформление было сделано небрежно и вам самим не понятно, что у вас написано. Аккуратность в оформлении математической записи нужна не вашему учителю, а вам самим.

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др..Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

3. Интернет-сайт nado5.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. В отделе работают программисты и дизайнеры. Вчера на работу не пришли  программиста и  дизайнер. При этом оказалось, что программистов на  человека меньше, чем дизайнеров. Сегодня не пришел  программист и  дизайнеров. При этом оказалось, что программистов в  раза больше, чем дизайнеров. Сколько всего сотрудников числится в отделе?

2. В выходной день Саша пошёл в Парк культуры покататься на аттракционах и полакомиться мороженым. В кармане у него было  рублей. Сначала Саша хотел поучаствовать в трёх аттракционах и съесть три порции мороженого. В этом случае у него бы ещё осталось  рублей на попкорн. Но Саша так увлекся, что вместо трёх принял участие в четырёх аттракционах, и денег хватило как раз только на одно мороженое. Сколько стоит одна порция мороженого и билет на один аттракцион в парке?

3. Первый автомобиль преодолевает путь между двумя городами за  ч, а второй – за  ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если за  часа первый из них проезжает на  км больше, чем второй.